Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Tập $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$ là tập con của $\{1,2,\ldots,n\}$. Mỗi khi $a_i+a_j\le n$, $1\le i\le j\le m$, thì $a_i+a_j$ cũng thuộc $A$. Chứng minh rằng
$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}.$$
$N$ là một điểm tùy ý trên phân giác của $\angle BAC$. $P$ và $O$ lần lượt là các điểm trên các đường thẳng $AB$ và $AN$ sao cho $\angle ANP=90^\circ=\angle APO$. $Q$ là một điểm tùy ý trên $NP$, và một đường thẳng tùy ý qua $Q$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $\angle OQE=90^\circ$ khi và chỉ khi $QE=QF$.
Với mỗi số nguyên dương $k$, $A_k$ là tập con của $\{k+1,k+2,\ldots,2k\}$ gồm tất cả các phần tử mà biểu diễn cơ số $2$ có đúng ba chữ số $1$. Gọi $f(k)$ là số phần tử của $A_k$.
(a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, phương trình $f(k)=m$ có ít nhất một nghiệm.
(b) Xác định tất cả các số nguyên dương $m$ mà phương trình $f(k)=m$ có nghiệm duy nhất.
Gọi $S$ là tập các số thực lớn hơn $-1$. Tìm tất cả các hàm $f:S\to S$ sao cho
$$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$$
với mọi $x$ và $y$ trong $S$, và $f(x)/x$ đồng biến nghiêm ngặt trên $-1\lt x\lt 0$ và trên $0\lt x$.
Tìm một tập $A$ các số nguyên dương sao cho với mọi tập vô hạn $P$ gồm các số nguyên tố, tồn tại các số nguyên dương $m\in A$ và $n\notin A$, cả hai là tích của cùng một số lượng (ít nhất hai) phần tử phân biệt của $P$.