IMO 1984 - Đề thi chính thức

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng
$$0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac7{27}.$$

Tìm hai số nguyên dương $a,b$ sao cho không số nào trong các số $a,b,a+b$ chia hết cho $7$ và $(a+b)^7-a^7-b^7$ chia hết cho $7^7$.

Trong một mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt $O$ và $A$. Với mỗi điểm $X\ne O$ của mặt phẳng, ký hiệu $\alpha(X)$ là góc $AOX$ đo bằng radian $(0\le\alpha(X)\lt 2\pi)$ và $C(X)$ là đường tròn tâm $O$, bán kính $OX+\frac{\alpha(X)}{OX}$. Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong hữu hạn màu. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $X$ với $\alpha(X)\gt 0$ sao cho màu của điểm đó xuất hiện ở đâu đó trên đường tròn $C(X)$.

Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi sao cho đường tròn đường kính $AB$ tiếp xúc với đường thẳng $CD$. Chứng minh rằng đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi hai đường thẳng $BC$ và $AD$ song song.

Cho $d$ là tổng độ dài tất cả các đường chéo của một đa giác lồi có $n$ $(n\gt 3)$ đỉnh và $p$ là chu vi của đa giác. Chứng minh rằng
$$\frac{n-3}{2}\lt \frac{d}{p}\lt \frac12\left(\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2\right).$$

Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $a\lt b\lt c\lt d$, $ad=bc$ và $a+d=2^k$, $b+c=2^m$ với các số nguyên $k$ và $m$ nào đó. Chứng minh rằng $a=1$.