AMC 10B năm 2011

Giá trị của biểu thức sau là gì? $$
\dfrac{2+4+6}{1+3+5} - \dfrac{1+3+5}{2+4+6}
$$

Điểm kiểm tra của Josanna cho đến nay là $90,$ $80,$ $70,$ $60,$ và $85.$ Mục tiêu của cô là tăng điểm trung bình trong bài kiểm tra ít nhất $3$ trong bài kiểm tra tiếp theo. Điểm kiểm tra tối thiểu cô ấy cần để hoàn thành mục tiêu này là bao nhiêu?

Tại cửa hàng, khi chiều dài được báo cáo là $x$ inch thì điều đó có nghĩa là ít nhất $x - 0.5$ inch và nhiều nhất $x + 0.5$ inch. Giả sử kích thước của ô hình chữ nhật được báo cáo là $2$ inch x $3$ inch. Theo inch vuông, diện tích tối thiểu cho hình chữ nhật là bao nhiêu?

LeRoy và Bernardo đã cùng nhau đi du lịch kéo dài một tuần và đồng ý chia đều chi phí. Trong tuần, mỗi người trong số họ đều thanh toán các chi phí chung khác nhau như xăng và thuê ô tô. Vào cuối chuyến đi, hóa ra LeRoy đã trả $A$ đô la và Bernardo đã trả $B$ đô la, trong đó $A < B.$ LeRoy phải đưa cho Bernardo bao nhiêu đô la để họ chia sẻ chi phí bằng nhau?

Khi nhân hai số nguyên dương $a$ và $b,$ Ron đã đảo ngược các chữ số của số có hai chữ số $a.$ Tích sai của anh ấy là $161.$ Giá trị đúng của tích của $a$ và $b?$ là bao nhiêu?

Vào Halloween, Casper đã ăn $\frac{1}{3}$ số kẹo của mình và sau đó đưa $2$ kẹo cho anh trai mình. Ngày hôm sau, anh ấy ăn $\frac{1}{3}$ số kẹo còn lại của mình và sau đó đưa $4$ kẹo cho em gái mình. Vào ngày thứ ba, anh ấy ăn chiếc kẹo $8$ cuối cùng của mình. Lúc đầu Casper có bao nhiêu viên kẹo?

Tổng hai góc của một tam giác là $\frac{6}{5}$ của một góc vuông và một trong hai góc này lớn hơn $30^{\circ}$ góc kia. Góc lớn nhất trong tam giác có số đo là bao nhiêu?

Tại một bãi biển nào đó nếu ít nhất $80^{\circ} F$ và có nắng thì bãi biển sẽ đông đúc. Vào tháng 6 $10$ bãi biển không đông đúc. Có thể kết luận gì về điều kiện thời tiết vào tháng 6 $10?$

diện tích của $\triangle EBD$ là một phần ba của diện tích của $3$-$4$-$5$ tam giác $ABC.$ Đoạn $DE$ vuông góc với đoạn thẳng $AB.$ $BD?$ là gì

Xét tập hợp số $\{1, 10, 10^2, 10^3, \ldots, 10^{10}\}.$ Tỉ lệ giữa phần tử lớn nhất của tập hợp với tổng mười phần tử còn lại của tập hợp đó gần với số nguyên nào nhất?

Có $52$ người trong một phòng. Giá trị lớn nhất của $n$ là bao nhiêu để khẳng định “ít nhất $n$ những người trong phòng này có ngày sinh nhật rơi vào cùng tháng” luôn đúng?

Keiko đi bộ một vòng quanh đường đua với tốc độ không đổi như nhau mỗi ngày. Các cạnh của đường đua là thẳng và các đầu là hình bán nguyệt. Đường đua có chiều rộng $6$ mét và cô ấy phải mất $36$ giây để đi quanh mép ngoài của đường đua so với xung quanh mép trong. Tốc độ của Keiko tính bằng mét trên giây là bao nhiêu?

Hai số thực được chọn ngẫu nhiên độc lập trong khoảng $[-20, 10].$ xác suất mà tích của các số đó lớn hơn 0 là bao nhiêu?

Một bãi đậu xe hình chữ nhật có đường chéo $25$ mét và diện tích là $168$ mét vuông. Tính bằng mét, chu vi của bãi đậu xe là bao nhiêu?

Đặt $@$ biểu thị phép toán “trung bình với”: $a @ b = \frac{a+b}{2}.$ Định luật phân phối nào sau đây đúng cho tất cả các số $x,$ $y,$ và $z?$

I. $x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)$

II. $x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)$

III. $x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)$

Bảng phi tiêu là một hình bát giác đều được chia thành các vùng như hình vẽ. Giả sử rằng một phi tiêu ném vào bảng có khả năng rơi vào bất kỳ vị trí nào trên bảng như nhau. xác suất mà phi tiêu rơi vào ô vuông trung tâm là gì?

Trong đường tròn đã cho, đường kính $\overline{EB}$ song song với $\overline{DC},$ và $\overline{AB}$ song song với $\overline{ED}.$ Các góc $AEB$ và $ABE$ tỉ lệ với $4 : 5.$ Số đo độ của góc $BCD?$

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 6$ và $BC = 3.$ Điểm $M$ được chọn ở bên $AB$ sao cho $\angle AMD = \angle CMD.$ Số đo độ của $\angle AMD?$ là bao nhiêu

Tích của tất cả các nghiệm của phương trình dưới đây là gì? $$
\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{x^2 - 16}
$$

Hình thoi $ABCD$ có chiều dài cạnh $2$ và $\angle B = 120^\circ$. Vùng $R$ bao gồm tất cả các điểm bên trong hình thoi gần với đỉnh $B$ hơn bất kỳ đỉnh nào trong ba đỉnh còn lại. diện tích của $R?$ là gì