IMAS 2022–2023 Cấp Junior — Vòng 1

Một quả bóng được thả từ đỉnh của hệ thống thoát nước và trượt xuống đến đáy, như hình dưới. Biết rằng bóng không thể đi lên, có bao nhiêu đường đi khác nhau mà bóng có thể đi qua hệ thống thoát nước? (Chú ý: Hình vẽ cho một ví dụ.)

Alice mua nhiều hơn Bob 80 viên bi, còn Bob mua ít hơn Charles 67 viên bi. Edwards mua nhiều hơn Dennis 19 viên bi, trong khi Charles mua nhiều hơn Edward 38 viên bi. Nếu Bob và Edward mua tổng cộng 41 viên bi thì cả năm người mua bao nhiêu viên bi?

Trong một bài kiểm tra Toán của một lớp, điểm trung bình của những học sinh đạt là 78, còn điểm trung bình của những học sinh không đạt là 34. Nếu điểm trung bình của cả lớp là 67 thì bao nhiêu phần trăm học sinh trong lớp đạt bài kiểm tra?

Có bao nhiêu số nguyên nằm giữa $\sqrt[3]{2022}$ và $\sqrt{2022}$?

Hai số hạng của một cấp số cộng là 1987 và 2022, không nhất thiết liên tiếp. Nếu công sai $d$ của cấp số cộng là một số nguyên dương thì $d$ có bao nhiêu giá trị có thể có?

Tổng các chữ số của giá trị $\sqrt{11111112222222-3333333}$ là bao nhiêu?

Cặp số có thứ tự $(x,y)$ nào thỏa mãn hệ phương trình sau: $\begin{cases}\frac12x-\frac14y=10\\\frac18x-\frac18y=19\end{cases}$?

Trong hình vuông $ABCD$, một đường thẳng đi qua $B$ cắt đường thẳng $CD$ kéo dài tại $E$, cạnh $AD$ tại $F$ và đường chéo $AC$ tại $G$, như hình dưới.



Nếu $BG=3$ cm và $GF=1$ cm thì độ dài $FE$ bằng bao nhiêu xăng-ti-mét?

Các chữ cái của từ “EVERYBODY” được xếp ngẫu nhiên vào bảng dưới. Xuất phát từ chữ “E” ở góc dưới bên trái, ta chỉ được đi lên hoặc sang phải cho đến chữ “Y” ở góc trên bên phải. Có bao nhiêu cách thu thập đủ các chữ cái của từ đó theo thứ tự bất kỳ? Chú ý rằng không được đi chéo.

Trong tam giác $ABC$, biết $\angle BCA=90^\circ$ và hai điểm $E,F$ nằm trên cạnh huyền $AB$ sao cho $AE=AC$ và $BF=BC$, như hình dưới.



Nếu $\angle ECF=x$ thì

Một nhóm 12 học sinh làm bài kiểm tra Toán, trong đó mỗi bài toán được đúng 10 học sinh giải. Biết rằng 11 học sinh, mỗi em giải được đúng 7 bài toán. Học sinh thứ 12 giải được bao nhiêu bài toán?

Hai bạn nam và năm bạn nữ xếp thành một hàng. Nếu hai bạn nam không được đứng cạnh nhau thì có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau?

Trong hệ đếm cơ số mười, số $379_{10}$ có nghĩa là $3\times10^2+7\times10+9$.
Trong hệ đếm cơ số $r$, với $r$ là một số nguyên dương, nếu đẳng thức $1020_r-460_r=230_r$ đúng thì $r$ bằng bao nhiêu?

Alice được cho biết tổng của ba số nguyên dương, còn Bob được cho biết tích của chúng. Alice nói: “Nếu biết số của bạn lớn hơn số của mình thì mình có thể tìm được ba số nguyên đó”. Bob đáp: “Nhưng mình biết số của mình nhỏ hơn số của bạn.” Tổng của ba số đó bằng bao nhiêu?

Hình dưới biểu diễn đầu của một nhân vật hoạt hình bằng một đường tròn lớn, với hai mắt là hai đường tròn có bán kính 1 cm. Hai đường tròn nhỏ tiếp xúc nhau tại tâm của đường tròn lớn và cũng tiếp xúc với đường tròn lớn. Miền tô đậm biểu diễn chiếc mũ, trong đó đường thẳng nằm ngang tiếp xúc với hai đường tròn nhỏ, như hình dưới.



Diện tích miền tô đậm bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Trong dãy Fibonacci $\{F_k\}$, $F_1=F_2=1$ và $F_{k+1}=F_k+F_{k-1}$ với $k\ge2$. Giá trị của $\frac1{F_1F_3}+\frac1{F_2F_4}+\frac1{F_3F_5}+\frac1{F_4F_6}+\frac1{F_5F_7}+\frac1{F_6F_8}+\frac1{F_7F_9}+\frac1{F_8F_{10}}$ bằng bao nhiêu?

Hai số $a$ và $b$ được chọn ngẫu nhiên từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9. Xác suất để $a-3b+10>0$ bằng bao nhiêu?

Cho $a+b+c=6$, trong đó $1\le a,b,c\le3$. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $\frac1{a+b}+\frac1{b+c}$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương khác nhau của $n$, với $n<25$, sao cho $(n-1)^3+n^3+(n+1)^3$ chia hết cho 102?

Cho điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BAP=13^\circ$, $\angle CAP=31^\circ$, $\angle ACP=44^\circ$ và $AP=BC$, như hình dưới. Số đo của $\angle BCP$ bằng bao nhiêu độ?