IMAS 2021–2022 Junior, Vòng 2

Cho $x,y$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $\begin{cases}x=y+\frac4x,\\y=x+\frac5y.\end{cases}$ Tìm tổng tất cả các giá trị có thể của $|x-y|$.

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=8$ cm và $BC=4$ cm. Đường phân giác góc tại $D$ cắt $AB$ tại $E$. Tìm khoảng cách từ $E$ đến $AC$, tính bằng cm.

Từ tập các số nguyên từ 1 đến 2022, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu số sao cho hiệu dương giữa hai số được chọn bất kỳ không là số nguyên tố?

Thế giới của các con bọ là một mặt phẳng được chia thành các ô vuông đơn vị. Ban đầu, tất cả các con bọ nằm trong các ô phía nam một bức tường bên trong và mỗi ô chứa nhiều nhất một con. Trong mỗi lượt, một con bọ có thể nhảy qua con bọ ở ô kề và đáp xuống ô ngay phía bên kia. Con bọ bị nhảy qua được lấy ra. Tuy nhiên, không được thực hiện nước nhảy nếu ô đích đã có bọ. Có thể nhảy về phía bắc, đông hoặc tây. Cần xếp 20 con bọ như thế nào để chúng có thể đến ô tô màu trong hình dưới đây?

Điền các số 1, 2, 3, 4 vào các hình tròn trong hình vẽ, mỗi hình tròn phải được điền đúng một số. Nếu hai hình tròn nối bằng một đoạn thẳng không được chứa cùng một số, hãy tìm tổng số cách điền hình.

Quy ước $\boxed2=1\times2\times3$, $\boxed3=2\times3\times4$, $\boxed4=3\times4\times5$, $\boxed5=4\times5\times6$, …. Nếu $\frac1{\boxed6}-\frac1{\boxed7}=\frac1{\boxed7}\times A$ thì $A$ bằng bao nhiêu?

Tìm phân số tối giản $\frac nm$ thỏa mãn $0.17<\frac nm<0.18$ và $m$ nhỏ nhất có thể.

Cho $f(x)=\frac1{\sqrt[3]{x^2+2x+1}+\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt[3]{x^2-2x+1}}$. Tìm giá trị của $f(1)+f(3)+\ldots+f(2k-1)+f(999)$.

Chữ số khác 0 cuối cùng của $2022!$ là bao nhiêu?

Cho tam giác $ABC$ có $AB=12$ cm, $AC=16$ cm và $BC=20$ cm. Nếu điểm $P$ nằm trên đoạn $BC$, tổng nhỏ nhất của bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác $PAB$ và $PAC$ bằng bao nhiêu cm?

Như hình dưới đây, dùng các ngũ giác bằng ngũ giác $ABCDE$ để lát kín mặt phẳng. Biết $AB=1$ cm, hãy tìm độ dài cạnh $DE$, tính bằng cm. Nhập biểu thức chính xác dùng sqrt, ví dụ (sqrt(2)+sqrt(3))/2.

Một số ô vuông đơn vị của bảng $6\times4$ được tô xám như hình dưới đây. Tìm số cách chọn bốn ô xám khác nhau sao cho hai ô được chọn bất kỳ nằm ở các hàng khác nhau và các cột khác nhau.

Trong một lần mua, số lượng mặt hàng X không được nhiều hơn hai lần số lượng mặt hàng Y, nhưng không ít hơn một phần ba số lượng mặt hàng Y. Ngoài ra, tổng số lượng hai mặt hàng không được vượt quá 60. Tìm tổng số cặp số lượng khác 0 thỏa mãn các yêu cầu trên.

Cho bảy số nguyên $a_0,a_1,\ldots,a_6$, trong đó $a_i$ là số lần xuất hiện của $i$ trong $a_0,a_1,\ldots,a_6$, với mỗi $0\le i\le6$. Tìm giá trị của các số này.

Biết các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\begin{cases}x^2+xy+y^2=5^2,\\y^2+yz+z^2=12^2,\\z^2+xz+x^2=13^2.\end{cases}$ Tính $(x+y+z)^2$.