IMAS 2019–2020 Junior Vòng 2

Chữ số hàng đơn vị của biểu thức $(-2)^{2019}+(-2)^{2020}$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, điểm $P$ nằm trên hình chữ nhật $ABCD$ sao cho $PB=6$ cm, $PC=10$ cm và $PD=17$ cm. Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng bao nhiêu cm$^2$?

Nếu mỗi biến $x$, $y$, $z$ đồng thời tăng thêm 1 thì biểu thức đại số nào sau đây giữ nguyên giá trị?

Trong hình dưới đây, tô đen năm ô vuông đơn vị sao cho không có hai ô đen nào cùng hàng hoặc cùng cột. Có bao nhiêu cách tô hình?

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn $x^2+5y^2=2020$?

Có bốn số nguyên dương liên tiếp, trong đó tích của ba số bằng 44030. Số nguyên dương còn lại là bao nhiêu?

Có bốn mảnh giấy hình chữ nhật với kích thước lần lượt là $1\text{ cm}\times2\text{ cm}$, $3\text{ cm}\times4\text{ cm}$, $5\text{ cm}\times6\text{ cm}$ và $7\text{ cm}\times8\text{ cm}$. Xếp chúng lên một tờ giấy kẻ ô hình chữ nhật lớn hơn sao cho không chồng lên nhau. Các cạnh của mỗi mảnh song song với các cạnh tờ giấy kẻ ô, và một đỉnh của mỗi mảnh trong cả bốn mảnh cùng trùng tại một điểm (tức điểm này là đỉnh của cả bốn hình chữ nhật). Diện tích nhỏ nhất có thể của tờ giấy kẻ ô bằng bao nhiêu cm$^2$?

Chọn hai số khác nhau từ tập {1, 2, ..., 10} sao cho chúng không nguyên tố cùng nhau. Có tất cả bao nhiêu cặp số khác nhau? (Chú ý rằng chọn a và b cũng giống chọn b và a.)

Nếu $x^3+2x^2+3x+4=a(x-4)^3+b(x-4)^2+c(x-4)+d$ đúng với mọi giá trị của $x$, thì hằng số $c$ bằng bao nhiêu?

Tổng của ba số nguyên không âm $a$, $b$, $c$ bằng 40, trong đó $a$ luôn là số lẻ. Có bao nhiêu bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ thỏa mãn điều kiện?

Trong hình dưới đây, các cạnh của lục giác $ABCDEF$ đều bằng nhau, $\angle ABC=\angle AFE=140^\circ$ và $\angle BAD=50^\circ$. Tính số đo, theo độ, của $\angle BCE$.

Trong hình dưới đây, các điểm $P$, $Q$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Nếu $BP=CQ=9$ cm, $AC=20$ cm và $PM\perp MQ$, thì cạnh $BC$ dài bao nhiêu cm?

Trong biểu thức đại số $a^b+c^d+e^f+g^h$, thay các chữ bằng các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sao cho mỗi chữ ứng với một số khác nhau. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là bao nhiêu?

Số có ba chữ số $\overline{abc}$ là số nguyên tố, trong đó $a$, $b$, $c$ là các chữ số khác nhau và $a+b+c$ là số lẻ. Chứng minh rằng $a+b+c$ cũng là số nguyên tố.

Trong tứ giác $ABCD$, $AB\parallel CD$, điểm $E$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, và $F$ là trung điểm $AD$. Kéo dài $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Gọi $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$, $B$, $C$, $D$ xuống đường thẳng $FG$.
(1) Chứng minh $\frac{AA_1}{CC_1}=\frac{BB_1}{DD_1}$; (5 điểm)
(2) Chứng minh $FE\ge GE$. (15 điểm)