IMAS 2016/2017 Junior — Vòng 2

Số nào dưới đây không thể biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố?

Trong $\triangle ABC$, $AB=AC$ và $\angle ACB=80^\circ$. Dựng hình vuông $ACDE$ có cạnh $AC$ cho trước. Các đường thẳng $BE$ và $AC$ cắt nhau tại $F$ như hình vẽ. Số đo $\angle BFC$ bằng bao nhiêu?

Alex và Charles đều gửi bưu kiện. Cước phí như sau: với 10 kg đầu tiên trở xuống, giá cước là 6 đô-la mỗi kg; với mỗi kg tiếp theo vượt quá 10 kg, giá cước mỗi kg thấp hơn một chút so với 10 kg đầu. Biết bưu kiện của Alex nặng hơn bưu kiện của Charles 20%, và tiền cước của Alex và Charles lần lượt là 92 đô-la và 80 đô-la. Giá cước mỗi kg của 10 kg đầu cao hơn giá cước mỗi kg vượt quá 10 kg bao nhiêu?

Cho $A=3x^2+3x$, $B=-x^2+x+5$ và $C=x^2+x-1$. $4A-(B-2(2B-3C)+2A)-2B=?$

Trên giá sách của Mar có sách Văn học, Toán học, Lịch sử và Khoa học. Nếu số sách Toán học gấp 5 lần số sách Văn học, và số sách Khoa học gấp 4 lần số sách Lịch sử, thì số nào dưới đây không thể là tổng số sách trên giá?

Điền vào bảng $4\times4$ sao cho các số 1, 2, 3 và 4 xuất hiện đúng một lần trong mỗi hàng và mỗi cột. Dựa vào hình dưới đây, tổng các giá trị $A$ và $B$ bằng bao nhiêu?

Hai cạnh của một tam giác có độ dài lần lượt là 6 cm và 13 cm. Biết rằng độ dài cạnh thứ ba cũng là một số nguyên (tính bằng cm). Chu vi nhỏ nhất (tính bằng cm) của tam giác này bằng bao nhiêu?

Hình 1 cho một đường tròn có đường kính 9 cm. Hình 2 cho biểu tượng Olympic gồm năm đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính 9 cm. Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến của các đường tròn là 4 cm như hình vẽ. Hãy tìm chiều dài của biểu tượng Olympic (Hình 3), tính bằng cm.



Chú thích: Figure 1, Figure 2, Figure 3 lần lượt là Hình 1, Hình 2, Hình 3.

Hình dưới đây gồm nhiều tam giác vuông cân. Một con kiến muốn đi từ điểm A đến điểm C. Có bao nhiêu cách đi nếu kiến chỉ được đi lên, sang phải hoặc theo đường chéo?

Trong 1000 số nguyên dương từ 1 đến 1000 kể cả hai đầu, có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho $n^3+n^2+n$ chia hết cho 8?

Cho $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2$, trong đó $a$, $b$ và $c$ là các số thực khác 0. Giá trị của $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$ bằng bao nhiêu?

Trong hình thang $ABCD$ ở hình dưới, $AD\parallel BC$. Đường thẳng qua $B$ và song song với $CD$ cắt đường thẳng qua $C$ và song song với $AB$ tại $E$. Điểm $F$ nằm trong $ABCD$ sao cho $\angle FAD=\angle ABC$ và $\angle FDA=\angle DCB$. Biết diện tích $ABEF$ bằng 20 cm² và diện tích $DCEF$ bằng 16 cm², hãy tìm diện tích $ABCD$ (cm²).

Một số có 4 chữ số được gọi là “tốt” nếu nó sử dụng đúng 3 chữ số khác nhau thuộc tập {2, 0, 1, 7} (nhiều nhất một trong các chữ số được dùng có thể lặp lại). Ví dụ, 8712 và 7200 là các số “tốt”, còn 2017 và 7175 thì không. Có bao nhiêu số “tốt”?

Trong $\triangle ABC$, điểm $G$ là trung điểm đoạn $BC$, $BE\perp AC$, $CF\perp AB$ và các đường thẳng $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Nếu $\angle EGF=90^\circ$, hãy chứng minh $AH=BC$.

Biết phương trình $x^2+(x+k)^2=y^2$ có nghiệm nguyên dương $(x,y)$, trong đó $x$ và $y$ nguyên tố cùng nhau. Nếu $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1, giá trị nhỏ nhất của $k$ bằng bao nhiêu?