IMAS 2015/2016 Junior Vòng 2

Michael mua 6 bút và 3 quyển vở, còn Wallace mua 3 bút và 6 quyển vở. Các bút giống nhau và các quyển vở cũng giống nhau. Hóa đơn của Michael cao hơn hóa đơn của Wallace 6 đô-la. Giá một bút cao hơn giá một quyển vở bao nhiêu đô-la?

Nếu xếp tất cả các ước của 2016 theo thứ tự giảm dần thì ước thứ ba lớn hơn ước thứ tư bao nhiêu?

Biểu thức nào sau đây bằng $xr+ys$ nếu $r=3x+2y$ và $s=xy-x-y$?

$E$ là điểm di động trên cạnh $BC$ của hình vuông $ABCD$. $DEFG$ là hình chữ nhật có $FG$ đi qua $A$. Khi $E$ di chuyển từ $B$ về phía $C$, diện tích $DEFG$ thay đổi thế nào?

Hình vẽ cho thấy một bảng 6 × 6 có ba rào chắn. Một con kiến ở góc trên bên trái muốn đến góc dưới bên phải. Nó chỉ được bò giữa các ô có chung cạnh, và chỉ theo hướng xuống dưới hoặc sang phải. Nó không thể vượt qua rào chắn nào. Có bao nhiêu đường đi khác nhau?

Một ô trên bảng 3 × 3 được tô đen, một ô thứ hai tô xanh và một ô thứ ba tô đỏ. Nếu không có hai trong ba ô này cùng hàng hoặc cùng cột thì có bao nhiêu cách tô khác nhau?

Hình vẽ cho thấy một viên gạch được chia thành các lục giác đều có cạnh 1 cm. Tổng diện tích các phần tô đậm của viên gạch bằng bao nhiêu cm$^2$?



Cách nhập: dùng sqrt(3) cho căn bậc hai của 3, * cho phép nhân và / cho phép chia; không nhập đơn vị.

Cho $a,b,c,d$ là các số thực sao cho $|a+b|$, $|a-b|$, $|c+d|$ và $|c-d|$ nhận các giá trị 6, 7, 8, 9 theo một thứ tự nào đó. Giá trị của $a^2+b^2+c^2+d^2$ bằng bao nhiêu?

Hình chữ nhật $ABCD$ có $BC=3$ cm và $AB=\sqrt3$ cm được gấp theo $AC$ để điểm $B$ trùng với điểm $K$ đối xứng với nó qua $AC$. Diện tích tam giác $KDE$ bằng bao nhiêu cm$^2$, trong đó $E$ nằm trên phần kéo dài của $BC$ sao cho $\angle CDE=30^\circ$?



Cách nhập: dùng sqrt(3) cho căn bậc hai của 3, * cho phép nhân và / cho phép chia; không nhập đơn vị.

Trong biểu thức $(((10\square2)\square2)\square2)\square2$, mỗi $\square$ được thay bằng một phép toán khác nhau trong $+$, $-$, $\times$ và $\div$. Biểu thức có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?

Cho $a,b,c$ là các số thực sao cho $abc=1$, $(a+1)(b+1)(c+1)=16$ và $(a+2)(b+2)(c+2)=53$. Giá trị của $(a-1)(b-1)(c-1)$ bằng bao nhiêu?

Diện tích tam giác $ABC$ bằng 120 cm$^2$ và $BC=16$ cm. Chu vi nhỏ nhất của $ABC$ bằng bao nhiêu cm?

Cho $a,b,c,d$ là bốn chữ số khác nhau và khác 0. Ước chung lớn nhất của hai số có bốn chữ số $\overline{abcd}$ và $\overline{acbd}$ là $n$. Giá trị lớn nhất có thể của $n$ là bao nhiêu?

Hình thứ nhất là một bảng 6 × 6, hình thứ hai là một mảnh hình chữ L gồm bốn ô vuông 1 × 1. Hãy tô đen ít ô nhất trên bảng 6 × 6 sao cho dù đặt mảnh hình chữ L ở đâu trên bảng, phủ kín bốn ô, thì ít nhất một trong các ô đó được tô đen. Có thể xoay hoặc lật mảnh hình chữ L.

Cần trình bày lời giải chi tiết. Trả lời: Cần tô đen ít nhất ___ ô.

$P$ và $Q$ nằm trên đường phân giác góc ngoài tại $A$ của tam giác $ABC$, với $A$ nằm giữa $P$ và $Q$, sao cho $BP$ song song với $CQ$. $D$ là điểm trên $BC$ thỏa mãn $DP=DQ$. Chứng minh $AB$ song song với $DQ$.

Cần trình bày lời giải chi tiết.