IMAS 2011 cấp Junior — Vòng 2

Hình vẽ cho thấy một biển đèn neon bên sông biểu diễn số “2012” trong lễ hội đón năm mới 2012 của một thành phố. Nhìn ảnh phản chiếu trên mặt nước từ bờ bên kia, biển sẽ trông như thế nào?

Trong lễ kỷ niệm 100 năm Trường Quốc tế IMAS, một giải bóng rổ được tổ chức. Sau khi mỗi đội đã chơi đúng ba trận, sáu đội bị loại. Các đội còn lại sau đó thi đấu với nhau, mỗi cặp đúng một trận. Tổng cộng có 33 trận đấu. Có bao nhiêu đội tham gia giải đấu này?

Có bốn đứa trẻ. Nếu tính tổng số tuổi của từng nhóm ba em thì các tổng lần lượt là 22, 20, 17 và 25. Trong bốn em, người lớn tuổi nhất hơn người nhỏ tuổi nhất bao nhiêu tuổi?

Hình vẽ cho thấy điểm $E$ nằm trên phần kéo dài của cạnh $DC$ của hình chữ nhật $ABCD$. Đoạn $AE$ cắt cạnh $BC$ tại $F$. Ba con kiến $X$, $Y$, $Z$ đều xuất phát từ $A$. $X$ bò theo đường $A$-$B$-$F$-$C$, $Y$ theo đường $A$-$F$-$E$-$C$-$D$, còn $Z$ theo đường $A$-$F$-$C$-$D$. Cả ba bò với cùng vận tốc không đổi. Chúng đến đích tương ứng theo thứ tự nào? Hãy liệt kê từ con đến sớm nhất đến con đến muộn nhất.

Tiền của một nước gồm các tờ mệnh giá 1, 5, 10, 20, 50 và 100 đô-la. Một hôm, hai khách hàng đến cửa hàng bánh kẹo của John. Mỗi người mua một hộp sô-cô-la giá 15 đô-la. Người thứ nhất có hai tờ 10 đô-la; người thứ hai có một tờ 20 đô-la và một tờ 5 đô-la. Vì ngăn kéo tiền không có tiền, John không thể trả lại tiền thừa nếu hai khách thanh toán riêng. Tuy nhiên, người thứ nhất có thể đưa cho người thứ hai hai tờ 10 đô-la và nhận lại tờ 5 đô-la; sau đó người thứ hai trả John một tờ 20 đô-la và một tờ 10 đô-la cho cả hai hộp. Một hôm khác, hai khách đến, mỗi người mua một hộp kẹo caramel. Một lần nữa, ngăn kéo tiền rỗng và chỉ có thể trả đúng tiền thừa khi hai người thanh toán chung. Trong các mức giá sau, mức nào có thể là giá một hộp caramel?

Hình vẽ thể hiện một khu phố (phần tô màu). Peter xuất phát từ $A$ đi về phía đông, còn Toney xuất phát từ $A$ đi về phía nam. Cả hai đi theo chu vi khu phố và cuối cùng gặp nhau tại điểm $D$ trên cạnh $BC$, cách $C$ 2 km. Nếu vận tốc không đổi của Toney bằng $\frac34$ vận tốc không đổi của Peter, thì độ dài đường gấp khúc từ $A$ đến $C$ là bao nhiêu?



Trả lời theo đơn vị km.

Một nhà trọ thanh niên có hai mươi mốt phòng đánh số từ 1 đến 21. Để người ngoài không biết chìa khóa thuộc phòng nào nhưng nhân viên vẫn nhận biết được, mỗi chìa khóa được gán một mã gồm hai chữ số. Chữ số thứ nhất là số dư khi chia số phòng cho 3; chữ số thứ hai là số dư khi chia số phòng cho 7. Chẳng hạn chìa khóa phòng 8 mang mã 21. Chìa khóa có mã 12 thuộc phòng nào?

Hình vẽ cho một bảng $3\times3$ có ba ô đã được điền số. Điền số vào các ô còn lại sao cho tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo trong hai đường chéo đều bằng nhau. Số nào phải điền vào ô có chữ $A$?

Hình vẽ cho thấy một dây cao su quấn chặt quanh ba hình trụ đặc giống nhau (phần tô màu). Bán kính đáy mỗi hình trụ là 10 cm. Tổng diện tích các miền không tô màu bên trong dây cao su bằng bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$? Hãy biểu diễn đáp án theo $\pi$.



Cách nhập đáp án: dùng pi thay cho $\pi$, sqrt(3) thay cho $\sqrt3$, và * để chỉ phép nhân; không nhập đơn vị.

Một số kỳ diệu là số nguyên dương có các chữ số đôi một khác nhau sao cho hiệu giữa số thu được bằng cách viết các chữ số theo thứ tự giảm dần và số thu được bằng cách viết các chữ số theo thứ tự tăng dần bằng chính số nguyên dương đó. Ví dụ, 495 là số kỳ diệu vì $954-459=495$. Tìm tất cả các số kỳ diệu có bốn chữ số.

Hình vẽ cho thấy cách tạo ngũ giác đều $ABCDE$ bằng cách thắt nút một dải giấy hình chữ nhật. Nếu kích thước hình chữ nhật ban đầu là 17,2 cm và 2,5 cm, đồng thời $CN+DP=CD$, thì diện tích tứ giác $ACDE$ bằng bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$?

Hình (1):

Hình (2):

Các số nguyên $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ và $M$ thỏa mãn
$$(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)=2x^2+10xy+My^2+7x+18y+6$$
với mọi số $x,y$. Giá trị của $M$ là bao nhiêu?

Như hình vẽ, có năm loại mảnh ghép được dùng trong trò chơi Tetris. Ta có bốn bản sao giống nhau của mỗi loại mảnh. Từ hai mươi mảnh, chọn bốn mảnh và dùng chúng ghép thành một hình vuông $4\times4$. Các mảnh được phép xoay hoặc lật. Có bao nhiêu cách chọn khác nhau?

Cho hình chữ nhật $ABCD$ bất kỳ. Tìm điểm $E$ trên cạnh $BC$ sao cho tổng độ dài hai đoạn $AE$ và $DE$ lớn nhất có thể. Hãy giải thích câu trả lời.

Như hình vẽ, Leon có một tờ tem $5\times5$. Bạn ấy cắt bỏ 5 con tem đánh dấu X, đồng thời thỏa mãn ba điều kiện sau.
(1) Không được cắt tem ở cạnh ngoài hoặc góc của tờ tem.
(2) Nếu hai con tem có chung một cạnh thì không được cắt cả hai.
(3) Sau khi cắt, phần còn lại của tờ tem vẫn là một mảnh liên thông.
Hóa ra 5 là số tem lớn nhất có thể cắt. Bây giờ Leon có một tờ tem $9\times9$. Số tem lớn nhất có thể cắt là bao nhiêu nếu vẫn phải thỏa mãn ba điều kiện trên? Hãy đưa ra một cách cắt đủ số tem đó và chứng minh không thể cắt nhiều hơn.