TIMO 2017 - THPT (Lớp 10–12) - Vòng loại - Đề 5

Hộp có 2015 bóng màu đỏ, xanh lá, xanh lam, vàng hoặc đen. Lấy bất kỳ 1800 quả luôn có đủ mọi màu. Cần lấy ít nhất bao nhiêu quả để chắc chắn có ba màu khác nhau?

Tìm số tiếp theo trong dãy $1024,0,512,256,384,320,352,\ldots$.

Các số nguyên tố $x,y$ thỏa mãn $x^2-y^3=1$. Tìm $x+y$.

Sáu đội $A,B,C,D,E,F$ thi đấu trong năm ngày. Mỗi đội chơi một trận mỗi ngày và gặp mỗi đội khác đúng một lần. Ngày 1, $A$ thắng $B$; ngày 2, $D$ thắng $C$; ngày 3, $E$ thắng $A$; ngày 4, $B$ thắng $C$. Ngày 5, $E$ gặp đội nào?

Bảy người phát biểu: A: Hôm qua là thứ Tư. B: Ngày mai không là thứ Ba. C: Ngày mai là thứ Tư. D: Hôm nay hoặc hôm qua là thứ Ba. E: Hôm nay là thứ Ba. F: Hôm nay không là thứ Hai, thứ Ba hay Chủ nhật. G: Hôm nay không là thứ Ba hay thứ Bảy. Đúng ba phát biểu đúng. Hôm nay là thứ mấy?

Biểu diễn $\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)^{1111}$ dưới dạng $a+bi$.

Phương trình $x^4-x^3+ax^2+bx+3=0$, với $a,b$ là hằng số, có nghiệm kép 1. Có bao nhiêu nghiệm có phần ảo khác 0?

Tính $\displaystyle\sum_{k=2}^{10}\frac1{k^2-1}$.

Tìm phần dư khi chia $x^{2015}-20x-15$ cho $x^2-1$.

Phân tích $x^2-3xy+2y^2+x-4y-6$ thành nhân tử.

Các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\le24$. Tìm giá trị lớn nhất của $a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}$.

Với $-3\le x\le3$, tìm giá trị lớn nhất của $x+\sqrt{9-x^2}$.

Biết $\log2=0.301$, tính $\log\left(\sum_{n=0}^{2015}\binom{2015}{n}\right)$ và làm tròn đến ba chữ số thập phân.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $x$ thỏa mãn $8x\equiv9\pmod{17}$ và $3x\equiv5\pmod7$.

Số thực $a$ và $\sqrt{23-8\sqrt7}+a\sqrt{23+8\sqrt7}$ đều là số hữu tỉ. Tìm $a$.

Hai tiếp tuyến của $x^2+y^2=1$ đi qua $P(3,4)$. Tìm tổng hai hệ số góc của chúng.

Hai đường cao $AD,BE$ của tam giác nhọn $ABC$ cắt nhau tại $H$. Nối $D,E$. Có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng?

Tam giác có các cạnh $a,b,c$ thỏa mãn $0\le a\le6\le b\le8\le c\le12$. Tìm chu vi khi diện tích tam giác lớn nhất.

Tìm khoảng cách ngắn nhất từ $(5,-10)$ đến đường thẳng $4y=3x$.

$TA,DC$ là các tiếp tuyến của đường tròn tại $A,C$. Ba điểm $T,B,C$ thẳng hàng. Biết $\angle ATB=50^\circ$, $\angle BCD=75^\circ$. Tìm $\angle ABC$.