TIMO 2017 - THPT (Lớp 10–12) - Chung kết (Heat Round) - Đề 5

Món tráng miệng của Selena bị lấy trộm. Hera nói David lấy; David nói Hera lấy; Ruby nói mình không lấy; Steve nói David nói dối. Đúng một người nói thật. Ai lấy món ăn?

Các số nguyên tố $x,y,z$ thỏa mãn $4x^y+y^x=z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $z$.

Chia hình chữ nhật thành $3\times5$ ô vuông bằng nhau, tô mỗi ô đỏ hoặc xanh lá. Có bao nhiêu cách tô để không có hình chữ nhật diện tích ít nhất bốn ô vuông mà bốn ô ở các góc cùng màu?

Hộp có 100 bút: 40 xanh lam, 30 đỏ, 20 xanh lá, 10 vàng. Ivy lấy bút mà không nhìn màu. Cần lấy ít nhất bao nhiêu bút để chắc chắn có ít nhất ba màu?

Năm quả cân $A,B,C,D,E$ thỏa mãn $A+B=7$, $B+C=9$, $C+D=11$, $D+E=8$, $A+C+E=10$, đơn vị pound. Tìm khối lượng $E$, bằng pound.

Phân tích $x^2-2xy+y^2+x-y-6$ thành nhân tử.

Biết $a^2-2a+3=0$, tính $a^4-a^2+6a+1$.

Biết $C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$, tính $C_7^1+2C_7^2+3C_7^3+\cdots+7C_7^7$.

Với $x>0$ thỏa mãn $x+1/x=12$, tính $x^3+1/x^3$.

Tính $2^2+5^2+8^2+\cdots+44^2+47^2+50^2$.

Tìm ước chung lớn nhất của $2^4\cdot3^2\cdot5^2$, $2^6\cdot3\cdot5^3\cdot7^4$ và $2^3\cdot3^2\cdot5^3\cdot11$.

Tìm số nguyên âm lớn nhất $x$ thỏa mãn $4x\equiv8\pmod{20}$.

Với $x$ thực, tìm giá trị lớn nhất của $\frac1{\sqrt{x^2+4x+8}}$.

Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2+c^2$.

Cho $f(n)=4n^3-6n^2+4n-1$. Tìm chữ số hàng đơn vị của $f(1)+f(2)+\cdots+f(2016)$.

$M,N,E$ lần lượt là trung điểm của $BC,MC,AC$ như hình. Biết $BE=42$ cm, tìm $GH$, bằng cm.

Đường thẳng đi qua $A(6,1)$ cắt đường tròn $x^2+y^2+2x-8y-4=0$ tại $B,C$. Tìm $AB\times AC$.

Tam giác có các cạnh 8, 15, 17 nội tiếp một hình vuông. Tìm độ dài cạnh nhỏ nhất có thể của hình vuông.

Tìm khoảng cách ngắn nhất từ $(1,2)$ đến đường thẳng $y=x$.

Tứ giác $ABCD$ có $AB=15$ cm, $BC=7$ cm, $CD=20$ cm, $DA=25$ cm. Gọi $x$ là góc giữa hai đường chéo, $0^\circ\le x\le90^\circ$. Tìm $x$.