AMC 10 năm 2000

Vào năm $2001,$ Hoa Kỳ sẽ đăng cai Olympic Toán học Quốc tế. Đặt $I,$ $M,$ và $O$ là các số nguyên dương riêng biệt sao cho tích $I \cdot M \cdot O = 2001.$ Giá trị lớn nhất có thể có của tổng $I + M + O?$ là bao nhiêu

Giá trị nào sau đây bằng $2000 \cdot 2000^{2000}?$

Mỗi ngày, Jenny ăn $20\%$ số đậu thạch có trong lọ của cô ấy vào đầu ngày hôm đó. Vào cuối ngày thứ hai, $32$ vẫn còn. Hỏi ban đầu trong lọ có bao nhiêu viên kẹo dẻo?

Chandra trả cho nhà cung cấp dịch vụ trực tuyến một khoản phí cố định hàng tháng cộng với phí kết nối theo giờ. Hóa đơn tháng 12 của cô ấy là $\$12.48,$ nhưng vào tháng 1, hóa đơn của cô ấy là $\$17.54$ vì cô ấy đã sử dụng thời gian kết nối nhiều gấp đôi so với tháng 12. Phí cố định hàng tháng là bao nhiêu?

Điểm $M$ và $N$ là trung điểm của các cạnh $PA$ và $PB$ của $\triangle PAB.$ Khi $P$ di chuyển dọc theo một đường thẳng song song với cạnh $AB,$ thì có bao nhiêu trong bốn đại lượng liệt kê dưới đây thay đổi?

(a) độ dài của đoạn $MN;$ (b) chu vi của $\triangle PAB;$ (c) diện tích của $\triangle PAB;$ (d) diện tích của hình thang $ABNM.$

Dãy số Fibonacci $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13,$ $21,$ $\ldots$ bắt đầu bằng hai $1$s và mỗi số hạng sau đó là tổng của hai số hạng liền trước nó. Chữ số nào trong mười chữ số xuất hiện cuối cùng ở vị trí đơn vị của một số trong dãy Fibonacci?

Trong hình chữ nhật $ABCD,$ $AD = 1,$ $P$ nằm trên $\overline{AB},$ và $\overline{DB}$ và $\overline{DP}$ trisect $\angle ADC.$ chu vi của $\triangle BDP?$

Tại trường trung học Olympic, $\tfrac25$ của học sinh năm nhất và $\tfrac45$ của học sinh năm hai đã thi AMC $10.$ Cho rằng số lượng thí sinh năm nhất và thí sinh năm hai là như nhau, điều nào sau đây phải đúng?

Nếu $|x - 2| = p,$ trong đó $x \lt 2,$ thì $x - p =$

Các cạnh của một tam giác có số dương diện tích có độ dài $4,$ $6,$ và $x.$ Các cạnh của tam giác thứ hai có số dương diện tích có độ dài $4,$ $6,$ và $y.$ Số dương nhỏ nhất là bao nhiêu đó không phải là giá trị có thể có của $|x - y|?$

Hai số nguyên tố khác nhau giữa $4$ và $18$ được chọn. Khi trừ tổng của chúng khỏi tích của chúng, có thể thu được số nào sau đây?

Các hình $0,$ $1,$ $2,$ và $3$ lần lượt bao gồm $1,$ $5,$ $13,$ và $25$ các ô vuông đơn vị không chồng lên nhau. Nếu mô hình này được tiếp tục thì sẽ có bao nhiêu ô vuông đơn vị không chồng lên nhau trong hình $100?$

Có các chốt màu vàng $5$, các chốt màu đỏ $4$ các chốt màu đỏ, $3$ các chốt màu xanh lá cây, $2$ các chốt màu xanh lam và $1$ các chốt màu cam được đặt trên một bảng ghim hình tam giác. Có bao nhiêu cách xếp các chốt sao cho không có hàng (ngang) hoặc cột (dọc) nào chứa hai chốt cùng màu?

Bà Walter làm bài kiểm tra trong một lớp toán có năm học sinh. Cô nhập điểm theo thứ tự ngẫu nhiên vào một bảng tính, bảng tính này sẽ tính lại điểm trung bình của lớp sau mỗi lần nhập điểm. Bà Walter nhận thấy rằng sau mỗi lần nhập điểm, điểm trung bình luôn là số nguyên. Điểm số (được liệt kê theo thứ tự tăng dần) là $71,$ $76,$ $80,$ $82,$ và $91.$ Điểm cuối cùng bà Walter nhập là bao nhiêu?

Hai số thực khác 0, $a$ và $b,$ thỏa mãn $ab = a - b.$ Tìm giá trị có thể có của $$
\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab.
$$

Sơ đồ hiển thị $28$ điểm mạng, mỗi điểm cách một đơn vị lân cận gần nhất. Đoạn $AB$ gặp đoạn $CD$ tại $E.$ Tìm độ dài của đoạn $AE.$

Boris có một cỗ máy đổi xu đáng kinh ngạc. Khi anh ta bỏ vào một phần tư, nó sẽ trả lại năm 5 xu; khi anh ta bỏ vào một đồng xu, nó sẽ trả lại năm xu; và khi anh ta bỏ một xu vào, nó sẽ trả lại năm phần tư. Boris bắt đầu chỉ với một xu. Số tiền nào sau đây Boris có thể có sau khi sử dụng máy nhiều lần?

Charlyn đi hoàn toàn quanh ranh giới của một hình vuông có cạnh dài $5$ km. Từ bất kỳ điểm nào trên đường đi, cô ấy có thể nhìn thấy chính xác $1$ km theo chiều ngang ở mọi hướng. diện tích của vùng bao gồm tất cả các điểm mà Charlyn có thể nhìn thấy trong khi đi bộ, được biểu thị bằng kilômét vuông và được làm tròn đến số nguyên gần nhất là bao nhiêu?

Thông qua một điểm trên cạnh huyền của tam giác vuông, các đường thẳng được vẽ song song với các cạnh của tam giác sao cho tam giác được chia thành một hình vuông và hai tam giác vuông nhỏ hơn. diện tích của một trong hai tam giác vuông nhỏ bằng $m$ nhân với diện tích của hình vuông. Tỷ lệ của diện tích của tam giác vuông nhỏ khác với diện tích của hình vuông là

Đặt $A,$ $M,$ và $C$ là các số nguyên không âm sao cho $A + M + C = 10.$ Giá trị tối đa của $$
\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}
$$ là bao nhiêu