ASMO Toán 2022 — Lớp 10 — Vòng trường

Tìm số ước dương của $(2008^3+3\times2008\times2009+1)^2$.

Cho tam giác ABC, D nằm trên cạnh AB và $AD=BD=CD$. Nếu $\angle BCA=m^\circ$, tìm m.

Cho dãy số hữu tỉ $m_1,m_2,\ldots$ với $m_1=2$ và $m_{n+1}=(1+m_n)/(1-m_n)$ khi $n\geq1$. Tìm $300m_{2008}$.

Nếu $2010!=P\times10^b$ với P nguyên không chia hết cho 10, tìm b.

Cho p, q, r dương sao cho $pq+p+q=qr+q+r=rp+r+p=35$. Tìm $(p+1)(q+1)(r+1)$.

Cho k thực thỏa $k^2-15k+1=0$. Tính $k^4+1/k^4$.

Có bao nhiêu cách viết 2010 thành tổng một hoặc nhiều số nguyên dương theo thứ tự không giảm, sao cho số cuối hơn số đầu không quá 1?

Tìm giá trị biểu thức $10\sqrt{10\sqrt[3]{10\sqrt[4]{10\sqrt[5]{\cdots}}}}$.

Có bao nhiêu cách lát hình chữ nhật $4\times9$ bằng các miếng $1\times2$?

Cho $a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=183$ và $b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182$, với a, b thực. Tìm $(9/5)(a+b)$.

Tính $\frac{100^3(100-1)}{100^2-1}\times\frac{(100-1)(100+1)}{100^2}$.

Giải phương trình $\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}=1$.

Cho hàm bậc ba $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ với a, b, c thực. Biết $f(2)=26$, $f(5)=290$ và $f(1)=6$. Tìm $a+b+c$.

Cho $x=1/(3-\sqrt{8})$. Giải phương trình với giá trị x đã cho: $\frac{x}{x^2-1}(x^2-6x+1)-(x^2-2\sqrt{8}x)+4x^2-4x $.

Một quản lý cửa hàng ghi số khách mua hàng theo ngày trong tuần: Thứ hai $x+3$; Thứ ba $5x+2$; Thứ tư $3x+2$; Thứ năm $4x+9$; Thứ sáu $7x+4$. Biết trung bình là 16 khách. Tìm tổng của giá trị nhỏ nhất, trung vị và lớn nhất.

Cho góc lượng giác $x$ thỏa mãn

$$\cos x=\sin x+1,\qquad \sin x\lt0.$$

Tính giá trị biểu thức

$$\frac{\sin^2 x+\sin x-2}{\sin x-1}\times\frac{\sin^3 x+16\sin^2 x-5\sin x+5}{7\sin^2 x+2\sin x}.$$

Gợi ý: Sử dụng $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ để xác định $\sin x$. Không cần tìm góc $x$.

Tính $\frac{1}{\log_2(2\sqrt{3})}+\frac{1}{\log_8(2\sqrt{3})}+\frac{1}{\log_3(2\sqrt{3})}+\frac{1}{\log_3(2\sqrt{3})}$.

Tìm tất cả cặp có thứ tự $(x,y)$ nguyên dương thỏa $\sqrt{2x}\sqrt{4xy}-\sqrt{2x}\sqrt{320}+\sqrt{2y}\sqrt{4xy}-\sqrt{2y}\sqrt{320}+\sqrt{320}\sqrt{4xy}-320=0$.

Biết $X\times Y=4^5+2^{16}$ với X, Y nguyên dương. Tính $X/4+(Y+5)/10$.

Hình vẽ gồm các đa giác tô màu và không tô, đơn vị mét. ABCDEFG là hình chữ nhật có các tam giác vuông BFE, BCE, ECD và hình thang ABFG. Biết GF=3 m, FE=4 m, FB=5 m; góc BEC bằng 45°. Tìm tổng diện tích phần tô màu.