Cho một hình chữ nhật $ABCD$ với $AC$ chiều dài $e$ và bốn vòng tròn trung tâm $A$, $B$, $C$, $D$ và bán kính $a$, $b$, $c$, $d$ tương ứng, thỏa mãn $a + c = b + d \lt e$. Chứng minh bạn có thể ghi một đường tròn bên trong tứ giác có các cạnh là hai tiếp tuyến chung bên ngoài với tâm đường tròn trung tâm $A$ và $C$, và hai tiếp tuyến chung bên ngoài với tâm đường tròn $B$ và $D$.
a. Cho một $(a, b, c, d)$ gấp bốn lần thực, chuyển thành $(ab, bc, cd, da)$ mới bốn lần. Lặp lại tùy ý nhiều lần. Chứng minh rằng bạn không bao giờ có thể quay trở lại bốn nguyên bản trừ khi $a = b = c = d = 1$.
b. đã cho $n$ một lũy thừa của $2$ và $n$-Tuple $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ chuyển đổi sang một mới $n$-TUPLE $(a_1 a_2, a_2 a_3, \ldots, a_{n-1} a_n, a_n a_1)$. Nếu tất cả các thành viên của $n$-tuple ban đầu là $1$ hoặc $-1$, hãy chứng minh rằng với đủ nhiều lần lặp lại, bạn sẽ có được tất cả $1$s.
Cho ba dãy số tự nhiên vô hạn tùy ý, chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy các số tự nhiên không bằng nhau $m$, $n$ sao cho mỗi dãy số thứ $m$ không nhỏ hơn Thành viên thứ $n$.
Cho một mảng số thực $m \times n$. Bạn có thể thay đổi dấu hiệu của tất cả các số trong một hàng hoặc tất cả các số trong một cột. Chứng minh rằng bằng cách thay đổi lặp đi lặp lại, bạn có thể có được một mảng với tất cả các tổng hàng và cột không âm.
Cho điểm $n \gt 1$, một số cặp được nối với nhau bởi một cạnh (một cạnh không bao giờ nối một điểm với chính nó). Cho hai điểm khác biệt bất kỳ, bạn có thể đạt được điểm này từ điểm kia chỉ bằng một cách bằng cách di chuyển dọc theo các cạnh. Chứng minh rằng có các cạnh $n - 1$.
Cho các số tự nhiên $m$, $n$ và $k$ bất kỳ. Chứng minh rằng luôn tìm được hai số tự nhiên $r$ và $s$ nguyên tố cùng nhau sao cho $rm + sn$ là một bội của $k$.
120 ô vuông đơn vị được sắp xếp tùy ý theo hình chữ nhật $20 \times 25$ (cả vị trí và hướng là tùy ý). Chứng minh rằng luôn luôn có thể đặt một hình tròn đường kính đơn vị bên trong hình chữ nhật mà không cắt bất kỳ hình vuông nào.
A và $B$ Chơi trò chơi sau với bộ đếm $N$. $A$ chia các quầy thành các cọc $2$, mỗi bộ có ít nhất $2$. Sau đó $B$ chia từng cọc thành các cọc $2$, mỗi cọc có ít nhất một quầy. $B$ sau đó lấy cọc $2$ theo một quy tắc mà cả hai đều biết, và $A$ lấy các cọc $2$ còn lại. Cả $A$ và $B$ đều đưa ra lựa chọn để kết thúc với càng nhiều quầy càng tốt. Có các khả năng $3$: $R1$ $B$ chiếm một đống lớn nhất (hoặc một trong số chúng nếu có nhiều hơn một) và đống nhỏ nhất (hoặc một trong số chúng nếu có nhiều hơn một). $R2$ $B$ lấy hai đống trung gian (hai đống mà $A$ sẽ lấy dưới $R1$). $R3$ $B$ có sự lựa chọn là lớn nhất và nhỏ nhất, hoặc hai đống trung bình. Đối với mỗi quy tắc, $A$ sẽ nhận được bao nhiêu bộ đếm nếu cả hai người chơi chơi tối ưu?