Cho một lưới $m \times n$ ($m, n \geq 1$), đặt một quân tốt ở giữa mỗi ô vuông và một quân tốt ở mỗi đỉnh của lưới (trong ví dụ được hiển thị cùng với $n=4$ và $m=3$, 32 quân tốt được đặt).
a. Tìm tất cả các bảng có chính xác 500 ô cờ.
b. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $k$ sao cho không có lưới nào có chính xác các bộ kiểm tra $k$.
Trên một hòn đảo có hai loại người: những hiệp sĩ, những người luôn nói sự thật, và những kẻ phản diện, những người luôn nói dối. Vào một ngày nhất định, Đại hội đồng họp, bao gồm 2003 thành viên. Họ ngồi ngẫu nhiên quanh một chiếc bàn tròn, và trong cuộc họp, mỗi người trong số họ tuyên bố: "Cả hai người trong số họ $i$ Hàng xóm của tôi là những kẻ lừa đảo. "Ngày hôm sau hội đồng họp lại, nhưng một trong những thành viên bị ốm, vì vậy chỉ có 2002 thành viên có mặt. Một hiệp sĩ?
Với bao nhiêu cặp $(p, q)$ gồm các số nguyên tố (dương) thì đa thức $x^{2}+p x+q$ có hai nghiệm nguyên? LƯU Ý: Hãy nhớ rằng 1 không phải là số nguyên tố.
Trong một hình chữ nhật song song $P$, chiều dài đường chéo là $\sqrt{133}$ và tổng diện tích bề mặt là $228$. Biết rằng một trong các cạnh tỷ lệ trung bình với hai cạnh còn lại nên thể tích của $P$ là
Un'azienda dolciaria sản xuất hai loại tipi di torrone, sử dụng mì ống stessa bianca và stesse nocciole, nhưng với tỷ lệ đa dạng. Trong vòng loại $A$, con số hiển thị $30\%$ của trọng lượng và $40\%$ của âm lượng; Ở loại $B$, con số này biểu thị trọng lượng $60\%$. Bao nhiêu phần trăm âm lượng thể hiện tiếng ồn trong tháp loại $B$?
You want to give seven gift packages to seven children, one to each. Chúng tôi muốn đảm bảo rằng trong mỗi gói có ba trò chơi khác nhau và dù chọn hai đứa trẻ nào thì chúng cũng nhận được nhiều nhất một trò chơi chung. Bạn cần chơi tối thiểu bao nhiêu loại trò chơi riêng biệt?
Trong hình vuông $ABCD$ có cạnh $2$, đoạn $MN$ có độ dài $1$ bị ràng buộc phải có điểm cuối $M$ ở phía $AB$ và điểm cuối $N$ ở phía $BC$. Đoạn này chia hình vuông thành tam giác $T$ và ngũ giác $P$. Giá trị tối đa mà tỷ lệ diện tích của $T$ so với $P$ có thể nhận là bao nhiêu?
Ở đất nước $\mathrm{Oz}$, ngoài những người bình thường (có thể nói dối hoặc nói thật), còn có những hiệp sĩ (những người luôn nói sự thật) và những kẻ hèn nhát (những người luôn nói dối). A strange law dictates that in every marriage the spouses are either both normal, or one is a knight and the other a knave. Khi bạn đến ngôi nhà liền kề của vợ chồng Allegri và Bianchi, hãy hỏi xem ông Bianchi, người vắng mặt, có phải là hiệp sĩ hay không, nhận được câu trả lời khẳng định từ cả bà Bianchi và cả ông bà Allegri. Bạn có thể xác định được bao nhiêu người phối ngẫu?
A 6-pointed star is drawn by constructing six isosceles triangles with a vertex angle of $30$ degrees on the sides of a regular hexagon. Knowing that the circumference passing through the points of the star has radius $1$, calculate the area of the star itself.
Một trò chơi bao gồm 10 lần ném xúc xắc hình khối bình thường với các mặt được đánh số từ 1 đến 6. Cuối cùng, điểm thu được sẽ được cộng lại, với quy tắc là nếu bạn đạt được điểm 6 trong một lần ném thì điểm của lần ném tiếp theo sẽ được tính nhân đôi và nếu bạn nhận được điểm 6 ở lần ném cuối cùng, bạn được quyền (chỉ) một lần ném bổ sung và điểm (không gấp đôi) được cộng vào. Điểm nào trong số những điểm cuối cùng này không thể đạt được?
Il piccolo Marco bước ra và trèo lên một cây đàn piano trên chiếc cân di động của một trung tâm mua sắm, một chiếc cân ở đó. Tiến hành theo hướng của thang âm với tốc độ không đổi theo điều này (khoảng thời gian giữa bước này và bước kia không đổi), calpesta 15 bước, tiến hành theo hướng ngược lại (với khoảng thời gian giữa bước này và bước kia) và calpesta 35. Quanti scalini calpesterebbe Marco trong passare Liệu một cây đàn piano all'altro se la scala mobile fosse ferma?
Đặt $\mathcal{R}$ là vùng hữu hạn của mặt phẳng được giới hạn bởi trục $x$ và đồ thị của đường cong phương trình $2 x^{2}+5 y=10$. Cho ba điểm của $\mathcal{R}$, khẳng định nào sau đây luôn đúng?
ít nhất hai trong số ba điểm có khoảng cách $\geq \frac{\sqrt{5}}{2}$
ít nhất hai trong số ba điểm có khoảng cách $\leq 3$
tổng khoảng cách giữa các điểm là $\leq \frac{9}{2} \sqrt{5}$
tổng bình phương khoảng cách giữa các điểm là $\leq 38$
tích khoảng cách giữa các điểm là $\leq 16 \sqrt{5}$.
Khối mười hai mặt là một khối đều có 12 mặt ngũ giác. Đường chéo của hình khối là đoạn có hai đỉnh của hình khối không thuộc cùng một mặt. Có bao nhiêu đường chéo trong khối mười hai mặt?
Đặt $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots$ là chuỗi được xác định bởi $x_{0}=2$ và $x_{n+1}=5+\left(x_{n}\right)^{2}$ cho mỗi $n \geq 0$. Chứng minh rằng không có số nguyên tố nào ngoài 2 xuất hiện trong dãy này.
Bàn phím số mặt vuông $4$ có các phím $16$ được đánh số từ $1$ đến $16$. Đặc vụ $007$ phải nhấn hai nút cùng lúc để vào căn cứ địch, nếu bấm nhầm sẽ phát ra âm thanh báo động. Tuy nhiên, nó chỉ biết rằng hai khóa không liền kề nhau (tức là chúng không có cạnh hoặc đỉnh chung). Xác suất để anh ta có thể xâm nhập là bao nhiêu?
Xác định số bộ bốn số nguyên (không nhất thiết phải khác biệt) giữa $1$ và $12$ (bao gồm các cực trị) thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:
- tổng của hai số đầu tiên là số chẵn
- tổng của ba số đầu tiên là bội số của $3$
- tổng của bốn số là bội số của $4$.
(Hai bộ tứ chỉ khác nhau về thứ tự các phần bổ sung cũng được coi là khác biệt).
