MathNet 2006 — Phần 01

Có tồn tại các số nguyên dương $x$, $y$ và $z$ thỏa mãn $x^{2006} + y^{2006} = z^{2007}$ không? Giải thích.

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác lồi $ABCD$. Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ và $S_{4}$ là diện tích các tam giác $ABO$, $BCO$, $CDO$ và $DAO$.

a) Chứng minh $S_{1} \cdot S_{3} = S_{2} \cdot S_{4}$.

b) Có tồn tại tứ giác $ABCD$ sao cho $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ và $S_{4}$ là bốn số nguyên dương liên tiếp theo một thứ tự nào đó không?

Trong một đa giác đều 2007 đỉnh, có 2006 đỉnh màu đỏ và đỉnh còn lại màu xanh. Gọi $G$ là số đa giác có một đỉnh màu xanh, các đỉnh còn lại màu đỏ. Gọi $R$ là số đa giác có tất cả các đỉnh màu đỏ. Số nào lớn hơn, $R$ hay $G$? Giải thích.

Dãy số $\{a_n\}$ được xác định bởi $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + \sqrt{3a_n^2 + 1}$ với $n \geq 1$. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.

Một tập hữu hạn các đường tròn trong mặt phẳng được gọi là đẹp nếu thỏa mãn ba điều kiện:
(i) Không có hai đường tròn nào có chung quá một điểm;
(ii) Với mỗi điểm $A$ trong mặt phẳng, có nhiều nhất hai đường tròn đi qua $A$;
(iii) Mỗi đường tròn trong tập tiếp xúc với đúng 5 đường tròn khác trong tập.
Có tồn tại tập đẹp gồm đúng:
(a) 2006 đường tròn?
(b) 2007 đường tròn?

Larry bơi từ Harvard đến MIT (xuôi dòng sông Charles) trong 40 phút và bơi ngược lại trong 45 phút. Nếu Larry chèo thuyền từ MIT về Harvard trong 15 phút thì chèo từ Harvard đến MIT mất bao lâu? Giả sử vận tốc dòng nước, vận tốc bơi và vận tốc chèo thuyền của Larry so với nước đều không đổi. Viết đáp số theo dạng phút:giây (mm:ss).

Tìm mọi nghiệm thực $(x, y)$ của hệ $x^{2}+y=12=y^{2}+x$.

Cho dãy số $a_{1}, a_{2}, \ldots$ xác định bởi $a_{1}=a_{2}=1$ và $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ với $n \geq 1$. Tính
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{4^{n+1}}
$$

Tim có một đồng hồ kim 12 giờ chạy đúng, hai kim chuyển động liên tục thay vì nhảy từng phút. Tim còn có một đồng hồ chạy chậm, chính xác bằng một nửa tốc độ đúng. Vào trưa một ngày, cả hai đồng hồ đều chỉ đúng giờ. Tại mỗi thời điểm, hai kim của mỗi đồng hồ tạo thành một góc từ $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}$, kể cả hai đầu mút. Trong ngày hôm đó có bao nhiêu thời điểm hai góc này bằng nhau?

Gọi $a$, $b$, $c$ là các nghiệm của $x^{3}-9 x^{2}+11 x-1=0$ và đặt $s=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$. Tính $s^{4}-18 s^{2}-8 s$.

Cho
$$
f(x) = x^{4} - 6x^{3} + 26x^{2} - 46x + 65.
$$
Các nghiệm của $f(x)$ có dạng $a_{k} + i b_{k}$ với $k = 1, 2, 3, 4$. Biết các số $a_{k}, b_{k}$ đều nguyên, tính $|b_{1}| + |b_{2}| + |b_{3}| + |b_{4}|$.

Tìm mọi số phức $z$ thỏa mãn $z^{4} + 4z^{2} + 6 = z$.

Tính tổng chuỗi vô hạn
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{4}+3 n^{2}+10 n+10}{2^{n} \cdot\left(n^{4}+4\right)}
$$

Tìm giá trị lớn nhất của
$$
\frac{x^{4}-x^{2}}{x^{6}+2 x^{3}-1}
$$
với số thực $x\gt 1$.

Một đa thức khác đa thức không $f(x)$, có hệ số thực, thỏa mãn $f(x) = f'(x) f''(x)$. Hệ số của số hạng bậc cao nhất của $f(x)$ bằng bao nhiêu?

Tính $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x \cos x}-1-x}{\sin \left(x^{2}\right)}$.

Tại thời điểm $0$, một con kiến ở $(1,0)$ và một con nhện ở $(-1,0)$. Kiến bắt đầu đi ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn đơn vị, còn nhện đi về bên phải trên trục $x$. Tốc độ theo phương ngang của kiến luôn bằng một nửa tốc độ của nhện. Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa kiến và nhện trong suốt quá trình.

Tính $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{4}}{k!}$.

Tính
$$
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}
$$

Một tam giác có các đỉnh $(1003,0)$, $(1004,3)$ và $(1005,1)$ trong mặt phẳng $xy$ được quay trọn một vòng quanh trục $y$. Tính thể tích khối tạo thành.