MYTS 2018 — Lớp 10 — Vòng 1

Rút gọn $P=\sqrt{(\sin^8x+\cos^8x+1)/2}$.

Số nguyên dương $n$ chia 3 dư 1. Tìm số dư của $n(n+1)/2$ khi chia 9.

Tìm số chính phương nhỏ nhất chia hết 11 và chia 7 dư 1.

Hình vuông $ABCD$ có cạnh 1. Lấy $A,B,C$ làm tâm vẽ các cung tròn bán kính 1 như hình. Tính độ dài cung $MN$.

Đa thức $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1$ có bốn nghiệm là độ dài các cạnh của một hình bình hành. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=a+b+c$.

Cho $f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)$ thỏa $xf(x)-yf(y)=f(y)-f(x)$ với mọi $x,y>0$. Biết $f(2018)=2$, tính $f(1)$.

Chia một đa giác lồi có 2018 đỉnh thành các tam giác bằng những đường chéo không cắt nhau trong đa giác. Gọi $a,b,c$ là số tam giác có lần lượt 2,1,0 cạnh là cạnh đa giác. Biết $a=504b$, tính $c$.

Tam giác $ABC$ có $AB=AC=17$, $BC=30$. Vẽ ra ngoài tam giác $ABC$ tam giác $BCD$ với $\angle CBD=90^\circ$ và $CD\parallel AB$. Tính $BD$.

Các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa $(p+q)/r=p-q+r$ và $p+q<120$. Tìm giá trị lớn nhất của $pqr$.

Có bao nhiêu bộ ba số nguyên $(a,b,c)$ thỏa $ab+bc+ca=0$ và $1/a^3+1/b^3+1/c^3+3/4=0$?

Có 13 hình tròn xếp thành 3 hàng, mỗi hàng 5 hình như hình vẽ. Điền các số nguyên dương đầu tiên từ 1 đến 13, mỗi số dùng một lần, sao cho tổng 5 số ở mỗi hàng bằng tổng 7 số ở các hình tròn đánh dấu ×. Tổng lớn nhất của 6 số ở các hình tròn tô đậm là bao nhiêu?

Cho $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $f(-x)=f(x)=f(x+6)$ với mọi số thực $x$ và $f(x)=3/x$ với $0<x\le3$. Tính $f(2018)$.

Có 21 chai sữa:7 chai mỗi chai 1 lít,7 chai mỗi chai $2/3$ lít,7 chai mỗi chai $1/3$ lít. Chia nguyên 21 chai cho 3 người sao cho số chai và số lít mỗi người bằng nhau. Mỗi người có bao nhiêu chai từng loại, theo thứ tự $1,2/3,1/3$ lít?

Hình vuông $ABCD$ có cạnh 1. Điểm $E$ di động trên $CD$, không trùng $C,D$. Dựng hình vuông $AEGF$ như hình. $J$ là giao điểm $BC$ với $EG$. Tìm giá trị lớn nhất của $CJ$.

Tìm tất cả số thực $a$ sao cho $x^2+ax-1=0$ có hai nghiệm thực $x_1,x_2$ thỏa $1/(x_1-1)^2+1/(x_2-1)^2=7$.

Cho hình vuông $ABCD$. Hai điểm $E,F$ nằm trên các cạnh $AB,BC$ sao cho $DE,DF$ chia hình vuông thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính $\tan\angle EDF$.

Cho $f(x)=x^3-33x^2+363x-1320$. Với mỗi số nguyên $n\ge2$, đặt $f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$, quy ước $f_1(x)=f(x)$. Giải $f_{2018}(x)=2007^{3^{2018}}+11$.

Trong hình, $AB=BC=CD=6$, $PB=5$, $PC=7$. Hai đường tròn cắt nhau tại $P,Q$ như hình. Tính $PQ$.

Giải phương trình $[x]\cdot\{x\}=2018x$, trong đó $[x]$ là phần nguyên (số nguyên lớn nhất không vượt $x$) và $\{x\}=x-[x]$ là phần lẻ.

Số nguyên dương $n<10$. Viết các số từ 1 đến $n$ nối nhau theo thứ tự tùy ý, với $n$ ở cuối, được $N$. Gọi $S(N)$ là tổng chữ số của $N$. Tìm tất cả $n$ để $S(N)-N$ chia hết 45.