Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương phân biệt sao cho tích hai số bất kỳ trong chúng cộng $1$ là số chính phương. Đặt $ab+1=r^2$, $ac+1=s^2$, $bc+1=t^2$ với $r,s,t$ là các số nguyên dương. Giả sử $0\lt a\lt b\lt c$. Chứng minh rằng $\dfrac{rs}{t}$ không phải là số nguyên dương.
Cho parabol $y=ax^2$, $a\ne0$. Một đường thẳng đi qua $A(2,0)$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$. Tính $S=100\left(1/x_1+1/x_2\right)$.
Hoa đi từ nhà với vận tốc không đổi. Lúc 13 giờ, quãng đường đi được là một số có hai chữ số; lúc 14 giờ vẫn là hai chữ số ấy nhưng đảo thứ tự; lúc 15 giờ là hai chữ số ban đầu có thêm chữ số 0 ở giữa. Tính vận tốc của Hoa, đơn vị km/giờ.
Trong một phần tư hình tròn bán kính $R$ có hai nửa hình tròn tiếp xúc nhau và một hình tròn tiếp xúc với cả hai, như hình. Diện tích phần tô đen bằng $\pi R^2/x$. Tìm $x$.
Biết $n!=n(n-1)\cdots2\cdot1$. Theo cách ghi của nguồn, gọi $S(n+1)$ là số chữ số 0 tận cùng của $n!$. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ sao cho $S(n+1)-S(n)=5$.
Trong hình, hình vuông nhỏ nội tiếp đường tròn, còn đường tròn nội tiếp hình vuông lớn. Diện tích hình vuông nhỏ là $10\,\mathrm{cm}^2$. Tính diện tích hình vuông lớn.
Cho đường tròn tâm O bán kính 5 cm, có hai đường kính AB và CD vuông góc. M là trung điểm OD; AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai K. Tính diện tích tam giác KAC (cm²).
Các số nguyên dương được xếp thành bảng tam giác căn trái như dưới đây. Các số ở hàng tiêu đề là số thứ tự cột; các số trước vạch đứng là số thứ tự dòng.
Ba đường thẳng từ ba đỉnh tam giác $ABC$ đồng quy tại điểm $P$ bên trong, cắt các cạnh đối diện tại $D,E,F$ và chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ. Như hình, $S_{BPD}=40$, $S_{DPC}=20$, $S_{APE}=15$. Tính diện tích $ABC$.
Trong góc vuông $xOy$, hai đường tròn tâm $A,B$ đều tiếp xúc với hai tia $Ox,Oy$, và tâm $A$ nằm trên đường tròn tâm $B$. Theo hình, đường tròn tâm $B$ lớn hơn đường tròn tâm $A$. Tính tỉ số bán kính của $(B)$ so với $(A)$.
