VTMO 2026 - Lớp 9 - Chung kết - SET 3 - Tự luyện tập

Tìm $p$ và $q$ là hai số nguyên tố thỏa mãn $2p+6q=(p-q)^3$.

Với hai số thực không âm $a,b$, trung bình cộng và trung bình nhân tương ứng là $\dfrac{a+b}{2}$ và $\sqrt{ab}$. Ví dụ, hai số 2 và 8 có trung bình cộng bằng 5, trung bình nhân bằng 4. Hãy tìm hai số nguyên dương phân biệt có trung bình cộng và trung bình nhân là hai số có hai chữ số, cùng tạo thành từ hai chữ số giống nhau nhưng có thứ tự khác nhau.

Cho đường tròn $(O)$ có dây cung $BC$ cố định khác đường kính. Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho $AB\ne AC$. Vẽ đường phân giác $AD$ và trung tuyến $AM$ của $\triangle ABC$ ($D,M\in BC$). Đường tròn ngoại tiếp $\triangle ADM$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$.

a) Chứng minh $BE=CF$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $EF$, đường thẳng $MI$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $H,G$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $\triangle AHG$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên cung lớn $BC$.

Cho tập hợp $K$ có $n$ phần tử $(n\ge5)$. Xét $(n+1)$ tập con phân biệt bất kỳ, mỗi tập có ba phần tử của $K$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một tập $A$ trong $(n+1)$ tập đó sao cho mỗi phần tử của $A$ cũng thuộc một tập nào đó khác $A$.

b) Với $n=5$, chứng minh rằng trong 6 tập này tồn tại hai tập khác nhau có đúng một phần tử chung.

c) Với $n=9$, chứng minh rằng trong 10 tập này tồn tại hai tập khác nhau có đúng một phần tử chung.

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn $(O)$. Gọi $M,N,P,Q$ là các tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Gọi $I$ là giao điểm của $NQ$ và $AC$.

a) Chứng minh $\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{QA}{NC}$.

b) Chứng minh bốn đường thẳng $AC,BD,MP,NQ$ đồng quy.