VTMO 2026 - Lớp 9 - Chung kết - SET 2 - Tự luyện tập

Cho tập hợp $A=\{1;2;\ldots;100\}$, $B_k$ là tập hợp con của $A$ có $k$ phần tử sao cho tổng hai số bất kỳ của $B_k$ không chia hết cho hiệu của chúng. Tìm giá trị lớn nhất của $k$.

Xét tất cả các số có 4 chữ số từ $1111$ đến $9999$. Ta viết chúng liền nhau theo một thứ tự bất kỳ thì được số có $35556$ chữ số. Chứng minh rằng số này chia hết cho $11$.

Có một số học sinh xếp thành một vòng tròn. Cô giáo yêu cầu các học sinh đứng cạnh nhau bắt tay nhau. Gọi $b$ là số học sinh nam, $g$ là số học sinh nữ, $B$ là số cặp học sinh nam bắt tay nhau và $G$ là số cặp học sinh nữ bắt tay nhau. Chứng minh rằng $b-g=B-G$.

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương phân biệt sao cho tích hai số bất kỳ trong chúng cộng $1$ là số chính phương. Đặt $ab+1=r^2$, $ac+1=s^2$, $bc+1=t^2$ với $r,s,t$ là các số nguyên dương. Giả sử $0<a<b<c$. Chứng minh rằng $\dfrac{rs}{t}$ không phải là số nguyên dương.

Giải phương trình nghiệm nguyên với $x>y$: $$2x^3-9x^2y+7xy^2-3x+3y-3=0.$$