VTMO 2026 - Lớp 7 - Chung kết - SET 10 - Tự luyện tập

Chứng minh $A=\dfrac12+\dfrac2{2^2}+\dfrac3{2^3}+\cdots+\dfrac{2014}{2^{2014}}\lt 2$.

Chia các số tự nhiên từ 1 đến 23 thành hai nhóm, mỗi nhóm có ít nhất hai số. Tính tích các số trong mỗi nhóm. Có bao nhiêu cách chia nhóm khác nhau để hai tích nguyên tố cùng nhau?

Có tồn tại các số nguyên dương $a,b,k$ đồng thời thỏa mãn $\gcd(a,b)=k(a-b)$ và $\operatorname{lcm}(a,b)=k(a+b)$ hay không?

Nếu làm một mình, đội A mất 20 ngày để hoàn thành một dự án, đội B mất 30 ngày. Hai đội cùng thực hiện dự án, nhưng đội A nghỉ 3 ngày, đội B nghỉ 2 ngày; không có ngày nào cả hai đội cùng nghỉ. Hỏi hai đội mất bao nhiêu ngày để hoàn thành dự án?

Cho tam giác $ABC$ với $AB\lt AC$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy $E$ sao cho $BE=AC$; trên tia đối của tia $CA$ lấy $F$ sao cho $CF=AB$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N=AM\cap EF$, $D=NC\cap EM$.

a) Chứng minh $MA=MN$.

b) Chứng minh $AN=DF$.