VTMO 2026 - Lớp 8 - Chung kết - SET 6 - Tự luyện tập

Cho bảng vuông $10\times10$ gồm $100$ ô vuông $1\times1$. Điền vào mỗi ô một số nguyên dương không vượt quá $10$ sao cho hai số ở hai ô chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh có một số xuất hiện ít nhất $17$ lần.

a) Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$ chia hết cho $1000$.

b) Chứng minh không tồn tại hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^4+324b^4$ là số nguyên tố.

Có bao nhiêu số tự nhiên $n\lt 2024$ sao cho $\frac1n+\frac15$, khi viết dưới dạng phân số tối giản, có mẫu số nhỏ hơn $n$?

Một nền nhà hình chữ nhật kích thước $15\times7$ được lát bởi hai loại gạch như hình: viên chữ L gồm ba ô vuông đơn vị và viên hình vuông $2\times2$. Chứng minh số viên hình vuông được sử dụng không vượt quá $9$.

Cho hình bình hành $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy hai điểm $E,F$, với $E$ nằm giữa $A$ và $F$. Gọi $M$ là giao điểm của $DE$ và $CF$. Kí hiệu $S$ là diện tích.

a) Chứng minh $S_{ADM}+S_{BCM}=S_{DFC}$.

b) Chứng minh $S_{MAB}=S_{MDF}$.