SEAMO 2027 - Paper F - SET 02 - Tự luyện tập

Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.

Hai đường tròn tâm $A$ và $B$ tiếp xúc ngoài tại $C$. Đường thẳng $DF$ tiếp xúc với chúng tại $D$ và $F$. Bán kính lần lượt là 2 cm và 3 cm. Tìm $DC/FC$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho $1+2+\cdots+n$ là ước của $6n$?

Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x-y=8$ và $x^2+y^2=194$. Tìm $xy$.

Nguồn hỏi: “$x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=7$, $x^2+y^2+z^2=19$ và $x^3+y^3+z^3=64$. Tính $x^4+y^4+z^4$.” Hãy xét câu hỏi được giữ nguyên này và giải thích kết luận có căn cứ.

Cảnh báo về tính nhất quán của nguồn: các giả thiết trên tập số thực không tương thích. Giữ nguyên dữ kiện gốc; hãy giải thích vấn đề và phân biệt phép tính hình thức với giá trị có thể đạt được. Câu này được chấm thủ công.

Tam giác $ABC$ cân với $AB=AC$ và $\angle A=20^\circ$. Điểm $D$ nằm trên $AC$ sao cho $AD=BC$; nối $BD$. Tính số đo $\angle ABD$ theo độ.

Một lớp có 5 bạn nam và 6 bạn nữ. Mỗi bạn nhận 1, 2 hoặc 5 đô la. Không có hai bạn khác giới nào nhận cùng số tiền. Có bao nhiêu cách phát tiền?

Quy ước đếm: các học sinh đều phân biệt. Nguồn không xác định cụ thể loại tiền đô la.

Có bao nhiêu số nguyên $T$ từ 1 đến 1992, kể cả hai đầu mút, sao cho $T^2-1$ chia hết cho 256?

Nếu $a=\log_{12}18$ và $b=\log_{24}54$, hãy tính $ab+5(a-b)$.

Tìm khoảng giá trị của $k$ để phương trình $2x^2+5x+3-k=0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

Trong tam giác $ABC$, $AC=2\sqrt{17}$, $BC=8$, $AB=10$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Các điểm $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,D$ lên đường thẳng $EF$. Tìm $PQ$.

Hình vẽ là bảng hình chữ nhật $8\times9$. Có bao nhiêu hình vuông trong bảng?

Đếm các hình vuông tạo bởi những đường kẻ của bảng.

Tìm hệ số của $x^2$ trong khai triển $(2-x/4)^{10}$.

Biết $\alpha,\beta$ là các nghiệm thực của $x^2-2x-1=0$. Tính $5\alpha^4+12\beta^3$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $a_n=111\cdots1$ gồm đúng $n$ chữ số 1. Tìm $n$ nhỏ nhất để $a_n$ chia hết cho 19.

Tìm giá trị lớn nhất của $\dfrac{1+\cos x}{\sin x+\cos x+2}$ khi $x$ nhận mọi giá trị thực.

Tính $S=\dfrac1{1+1^2+1^4}+\dfrac2{1+2^2+2^4}+\dfrac3{1+3^2+3^4}+\cdots+\dfrac{20}{1+20^2+20^4}$.

Tìm số dư khi chia $20^{2027}+2^{2027}+23^{2027}+32^{2027}$ cho 2027.

Trong tam giác $ABC$, $\angle B=90^\circ$ và $O$ nằm trên $AB$. Nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $OB$, cắt $AB$ tại $E$. Đường thẳng $AC$ tiếp xúc với nửa đường tròn tại $D$. Biết $AD=2$, $AE=1$, tính tổng diện tích hai tam giác $AOD$ và $BCD$. Viết kết quả đến một chữ số thập phân.

Điểm $X$ nằm ngoài tam giác $ABC$. Các điểm $P,Q,R$ lần lượt nằm trên $AB,BC,AC$ và $XP\perp AB$, $XQ\perp BC$, $XR\perp AC$. Biết $BP=1$, $BQ=2$, $CQ=3$, $CR=4$, $AR=5$. Tìm $AP$.

Tìm số lượng số nguyên dương $x$ sao cho $4x^4+1$ là số nguyên tố.