Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Tìm chữ số hàng đơn vị của $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1).$$
Cho $a,b,c,d,e$ là năm số nguyên dương liên tiếp, $a\lt b\lt c\lt d\lt e$. Tổng $b+c+d$ là số chính phương và $a+b+c+d+e$ là số lập phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của $c$.
$I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Tia $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tại $D$. Biết $AB=3$, $AC=4$ và $[IBC]=[DBC]$, tính $BC$. Kí hiệu $[XYZ]$ chỉ diện tích tam giác.
Trong tam giác đều $ABC$, các điểm $D,E$ lần lượt thuộc $AB,AC$. Hai đoạn $BE,CD$ cắt nhau tại $F$ và $\angle BFC=120^\circ$. Khẳng định nào sau đây về độ dài $AD,CE$ là đúng?
Mẫu lát sàn trong một trung tâm thương mại có một lục giác ở giữa. Vòng thứ nhất gồm 6 hình vuông và 6 tam giác đều. Vòng thứ hai gồm 6 hình vuông và 18 tam giác; mẫu tiếp tục như hình. Vòng thứ tám có bao nhiêu tam giác?
Số nguyên dương $n$ thỏa mãn cả ba điều kiện: (i) $n/5$ là số chính phương; (ii) $n/2$ là số lập phương; (iii) $n$ chia hết cho 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$.
Bồi thẩm đoàn gồm 12 người quyết định bị cáo có tội hay không; cần quá nửa số phiếu. Bốn người chắc chắn bỏ phiếu CÓ và ba người bỏ phiếu KHÔNG. Bốn người khác mỗi người tung một đồng xu cân đối rồi bỏ phiếu theo kết quả. Người cuối cùng bỏ phiếu theo đa số. Xác suất kết luận có tội bằng bao nhiêu?
Xét các lượt tung xu cân đối độc lập. Người cuối cùng theo đa số của 11 người còn lại.
Trong tam giác $ABC$, các điểm $B^{\prime},C^{\prime}$ thuộc $AB,AC$ và $BB^{\prime}=CC^{\prime}$. Gọi $O,O^{\prime}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC,AB^{\prime}C^{\prime}$. Đường thẳng $OO^{\prime}$ cắt các đường thẳng $AB^{\prime},AC^{\prime}$ lần lượt tại $B^{\prime\prime},C^{\prime\prime}$. Biết $AB=\tfrac12AC$, khẳng định nào đúng?
Xét phép dựng không suy biến như hình: hai tâm ngoại tiếp phân biệt và các giao điểm được nêu tồn tại. Có thể kéo dài các đường thẳng.
Trong tam giác $ABC$, $D$ thuộc $AB$, $DE\parallel BC$ với $E$ thuộc $AC$. Điểm $F$ thuộc $BC$ và $DF\parallel AC$. Diện tích hai tam giác $ADE,DBF$ lần lượt là $m,n$. Tính diện tích tứ giác $DECF$.
Noppon đi từ $A$ đến $B$ rồi trở về theo cùng tuyến đường. Vận tốc xuống dốc là 12 km/giờ, lên dốc là 4 km/giờ. Lượt đi mất 50 phút, lượt về mất $1\tfrac12$ giờ. Tính độ dài tuyến đường từ $A$ đến $B$ theo km.
Tuyến đường chỉ gồm các đoạn lên dốc và xuống dốc, với vận tốc đã cho trên mỗi loại đoạn.
