Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Cho $S=\{1,2,\ldots,10\}$. Họ $F$ gồm các tập con của $S$ được gọi là giao nhau nếu hai phần tử bất kỳ $A,B$ có giao $A\cap B$ khác tập rỗng. Số phần tử lớn nhất của $F$ là bao nhiêu?
Một đường tròn bán kính $r$ lăn tự do bên trong tam giác đều cạnh $a$, với $a\ge2\sqrt3r$. Tìm diện tích bên trong tam giác mà đường tròn không bao phủ.
Cắt bỏ mỗi đỉnh của một hình hộp chữ nhật. Hình vẽ biểu diễn hai trong tám lần cắt. Khối mới có bao nhiêu cạnh? Giả sử các mặt phẳng cắt không giao nhau ở trong hoặc trên hình hộp.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho $\displaystyle\frac1{\log_{2^k}(2019!)}+\frac1{\log_{3^k}(2019!)}+\frac1{\log_{4^k}(2019!)}+\cdots+\frac1{\log_{2019^k}(2019!)}\gt \sqrt{2019}$.
Trong tam giác $ABC$, các cạnh $a,b,c$ lần lượt đối diện các góc $A,B,C$. Biết $\dfrac{b+c}{10}=\dfrac{c+a}{15}=\dfrac{a+b}{11}$, tìm $\sin A:\sin B:\sin C$.
Xếp ba lá cờ đỏ, bốn lá cờ xanh và hai lá cờ vàng lên chín cột cờ được đánh số theo thứ tự, mỗi cột một lá cờ. Có bao nhiêu cách bố trí màu cờ khác nhau?
Với các số thực dương $a,b,c$, tìm giá trị nhỏ nhất của $u=\left\lfloor\dfrac{a+b}{c}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{b+c}{a}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{c+a}{b}\right\rfloor$. Ký hiệu $\lfloor t\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.
Một đường thẳng qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$, và cắt phần kéo dài của $CB$ tại $D$ như hình. Tính $\dfrac{BE}{EA}+\dfrac{CF}{FA}$.
Trong một giải bóng bàn, mỗi người dự kiến đấu đúng một trận với từng người khác. Có ba người bỏ cuộc giữa giải, mỗi người đã đấu đúng hai trận. Các trận giữa những người còn lại đều hoàn tất. Nếu tổng cộng đã đấu 50 trận, có bao nhiêu trận diễn ra giữa ba người bỏ cuộc?
Hiểu rằng mọi trận giữa những người không bỏ cuộc đã hoàn tất; đây là cách hiểu giải vòng tròn trọn vẹn theo ý định của nguồn.
