Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc(a+b+c)=100$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $(a+b)(b+c)$.
Hai đường tròn tâm $O_1,O_2$ có bán kính lần lượt bằng $16,9$ và tiếp xúc ngoài tại $A$. Điểm $B$ thuộc đường tròn tâm $O_1$ sao cho $AB=8$. Đoạn $BC$ tiếp xúc với đường tròn tâm $O_2$ tại $C$. Tính $BC$.
Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $$x+|y|+\{z\}=13.2,\qquad |x|+\{y\}+z=14.3,\qquad \{x\}+y+|z|=15.1.$$ Kí hiệu $[a]$ là số nguyên lớn nhất $\le a$ và $\{b\}$ là phần lẻ của $b$ (ví dụ $[5.4]=5$, $\{4.3\}=0.3$). Tìm $x$.
Mâu thuẫn kí hiệu nguồn: các phương trình in dấu giá trị tuyệt đối, nhưng phần định nghĩa dùng dấu phần nguyên. Giữ nguyên cả hai. Khi chấm thủ công, hãy giải thích hệ in nguyên văn có nhất quán không và xét riêng trường hợp các dấu ấy được dự định là dấu phần nguyên.
Trong tam giác $ABC$, $AD,AE$ chia $\angle BAC$ thành ba góc bằng nhau, với $B,D,E,C$ theo thứ tự ấy trên $BC$. Biết $BD=2$, $DE=3$, $EC=6$, tính $|AB|^2$.
Diện tích một hình chữ nhật không đổi khi tăng chiều dài $6$ đơn vị và giảm chiều rộng $2$ đơn vị, hoặc khi giảm chiều dài $12$ đơn vị và tăng chiều rộng $6$ đơn vị. Chu vi hình chữ nhật ban đầu là $x$ đơn vị. Tìm $x$.
Công-tơ-mét hiển thị tổng quãng đường xe đã đi trong suốt thời gian sử dụng. Leonard lái xe trong một số nguyên giờ với vận tốc trung bình $55\text{ km/h}$. Lúc đầu, công-tơ-mét chỉ $\overline{abc}\text{ km}$; lúc cuối chỉ $\overline{cba}\text{ km}$. Biết $a\ge1$ và $a+b+c\le7$, tính $a^3+b^3+c^3$.
Trong một khảo sát về các nhãn hiệu cà phê, $50\%$ uống nhãn hiệu $A$, $45\%$ uống $B$, $40\%$ uống $C$, $25\%$ uống cả $A,B$, $10\%$ uống cả $B,C$, $16\%$ uống cả $A,C$ và $8\%$ uống cả ba nhãn hiệu. Bao nhiêu phần trăm người được khảo sát không uống cà phê?
Trong bài này, mọi người uống cà phê được khảo sát đều uống ít nhất một trong ba nhãn hiệu A, B, C; các phần giao đôi gồm cả người uống cả ba. Đây là quy ước cần thiết để hiểu câu hỏi và đáp án nguồn.
Trong hình vuông $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Tia $AF$ là phân giác của $\angle BAC$, cắt $BD$ tại $G$, cắt $BC$ tại $F$. Biết $OG:CF=m:n$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, tính $m+n$.
Tìm $\lceil a\rceil$, trong đó $a$ là giá trị lớn nhất có thể của khoảng cách ngắn nhất giữa hai trong mười điểm đặt trên một đường tròn có đường kính $5\text{ cm}$.
Bản tiếng Anh nguồn ghi “in a circle”, còn bản tiếng Việt ghi “trên một đường tròn”. Ở đây các điểm nằm trên đường tròn, theo bản tiếng Việt đã in. Kí hiệu trần là số nguyên nhỏ nhất không bé hơn a.
Amos, Bryan và Catherine chơi một loạt ván cờ một đấu một. Mỗi lúc có hai người chơi và một người xem. Người thắng tiếp tục chơi với người đang chờ, còn người thua ra ngoài. Amos chơi $7$ ván, Bryan $10$ ván, Catherine $13$ ván. Ai thua ván thứ hai?
Một người bán hàng mua chiếc bàn giá ban đầu $2000$ đô la, được giảm $10\%$ rồi giảm tiếp $15\%$. Người đó chi $70$ đô la vận chuyển và bán bàn với giá $2080$ đô la Singapore. Tính tỷ suất lợi nhuận.
Các phương án gốc: (A) $15\%$; (B) $18\%$; (C) $22\%$; (D) $26\%$; (E) $30\%$.
Giả sử mọi khoản tiền đô la đã nêu cùng một loại tiền. Nguồn không định nghĩa “profit margin”, và các phương án có thể dùng một mẫu số khác. Giữ đủ phương án gốc; giải thích cả biên lợi nhuận trên doanh thu và tỉ suất lãi trên vốn để chấm thủ công.
Trong hình, $AB,CD$ là hai dây song song của đường tròn tâm $O$, bán kính $r\text{ cm}$. Biết $AB=46\text{ cm}$, $CD=18\text{ cm}$ và $\angle AOB=3\angle COD$, tìm $r$.
