Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Tìm số nguyên dương có năm chữ số lớn nhất mà tích các chữ số bằng $7!$.
Trong hình, $AD$ là tia phân giác của $\angle BAC$ và $\angle CDA=45^\circ$. Tìm $\angle BED$. Dấu vuông góc cho biết $CE\perp AB$; $B,D,C$ thẳng hàng và $B,E,A$ thẳng hàng. $F$ là giao điểm của $AD$ và $CE$.
Với $i=1,2,\ldots,100$, mỗi $x_i$ nhận một trong hai giá trị $\sqrt3-\sqrt2$ hoặc $\sqrt3+\sqrt2$. Đặt $S=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{99}x_{100}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương khác nhau của $S$?
Cho cấp số cộng tăng $u_1,u_2,\ldots,u_{49}$ có số hạng đầu $25$ và công sai $3$. Tính $\frac3{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}+\frac3{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}+\cdots+\frac3{\sqrt{u_{48}}+\sqrt{u_{49}}}$.
Khi chai hình nón đặt trên đáy phẳng, mặt nước cách đỉnh $8\text{ cm}$. Khi Leonard lật ngược chai, mặt nước cách đáy $2\text{ cm}$. Chiều cao chai là $(a+b\sqrt c)\text{ cm}$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên và $c$ không chia hết cho số chính phương nào lớn hơn $1$. Tính $a+b+c$.
Đặt $S=[\sqrt1]+[\sqrt2]+\cdots+[\sqrt{1998}]$. Tính $[\sqrt S]$. Ở đây $[t]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$, theo định nghĩa trong bài học nguồn.
Hãy dùng định nghĩa phần nguyên đã nêu và tính đủ các số hạng đến 1998. Đáp án nguồn không nhất quán.
Tam giác $ABC$ đều. Điểm $D$ nằm ngoài tam giác $ABC$ và thỏa mãn $AC=AD$. Biết $\angle CDB=x$, tìm $x$.
Nguồn in các phương án: (A) $30^\circ$, (B) $34^\circ$, (C) $36^\circ$, (D) $40^\circ$, (E) $45^\circ$.
Nguồn không chỉ rõ D thuộc cung nào, nên các điều kiện không xác định duy nhất góc cần tìm. Câu này được chấm tự luận: hãy giải thích các trường hợp có thể, không tự giả định điều kiện vị trí còn thiếu.
Cho $f(x)=\frac{1+10x}{10-100x}$ và $f^n=\underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ f}_{n}$ (hợp $n$ lần). Tính $f(\frac12)+f^2(\frac12)+f^3(\frac12)+\cdots+f^{6000}(\frac12)$.
