Câu hỏi 19
Hình vuông $ABCD$ trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh tại các điểm $A(1, 1),$ $B(-1, 1),$ $C(-1, -1),$ và $D(1, -1).$ Xét bốn phép biến đổi sau:
$L,$ xoay $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
$R,$ xoay $90^\circ$ theo chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
$H,$ một sự phản chiếu qua trục $x$; và
$V,$ một sự phản ánh qua trục $y$.
Mỗi phép biến đổi này ánh xạ hình vuông lên chính nó, nhưng vị trí của các đỉnh được dán nhãn sẽ thay đổi. Ví dụ: áp dụng $R$ và sau đó $V$ sẽ gửi đỉnh $A$ tại $(1, 1)$ tới $(-1, -1)$ và sẽ gửi đỉnh $B$ tại $(-1, 1)$ tới chính nó. Có bao nhiêu chuỗi phép biến đổi $20$ được chọn từ $\{L, R, H, V\}$ sẽ đưa tất cả các đỉnh được gắn nhãn trở lại vị trí ban đầu của chúng? (Ví dụ: $R,$ $R,$ $V,$ $H$ là một chuỗi các phép biến đổi $4$ sẽ đưa các đỉnh trở lại vị trí ban đầu của chúng.)
$L,$ xoay $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
$R,$ xoay $90^\circ$ theo chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
$H,$ một sự phản chiếu qua trục $x$; và
$V,$ một sự phản ánh qua trục $y$.
Mỗi phép biến đổi này ánh xạ hình vuông lên chính nó, nhưng vị trí của các đỉnh được dán nhãn sẽ thay đổi. Ví dụ: áp dụng $R$ và sau đó $V$ sẽ gửi đỉnh $A$ tại $(1, 1)$ tới $(-1, -1)$ và sẽ gửi đỉnh $B$ tại $(-1, 1)$ tới chính nó. Có bao nhiêu chuỗi phép biến đổi $20$ được chọn từ $\{L, R, H, V\}$ sẽ đưa tất cả các đỉnh được gắn nhãn trở lại vị trí ban đầu của chúng? (Ví dụ: $R,$ $R,$ $V,$ $H$ là một chuỗi các phép biến đổi $4$ sẽ đưa các đỉnh trở lại vị trí ban đầu của chúng.)