Có bao nhiêu đường đi từ vòng tròn trên cùng đến một vòng tròn bất kỳ ở hàng thứ 10 nếu chỉ được đi xuống-trái hoặc xuống-phải và không được đi qua vòng tròn màu đen?
**Quy ước hình vẽ:** Hình in chỉ thể hiện tám hàng. Tiếp tục cùng quy luật tam giác đến hàng 10, tính vòng tròn trên cùng là hàng 1. Vòng tròn cấm là vòng tròn chính giữa hàng 5. Các dãy bước đi khác nhau được tính là các đường đi khác nhau, dù cùng điểm cuối. Nhập tổng số đường đi dưới dạng số nguyên.
**Quy ước miền giá trị:** Xem $x$ là một nghiệm đại số, cho phép số phức. Phương trình không có nghiệm thực. Không cần tìm các nghiệm hoặc tính toán với số phức; hãy dùng một hằng đẳng thức đa thức. Chỉ nhập giá trị tìm được.
Trong hình, $ABCD$ là hình vuông cạnh 6; $AHD$ và $BCG$ là hai tam giác đều bên trong hình vuông. Các giao điểm được vẽ là $I=AH\cap BG$ và $J=DH\cap CG$. Tính diện tích hình thoi $IGJH$. Chọn một phương án.
Hai hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên dương chồng lên nhau sao cho hai cạnh của hình nhỏ nằm trên hai cạnh của hình lớn, như hình. Phần tô màu hình chữ L có diện tích 27 đơn vị vuông. Tính tổng hai giá trị có thể có của độ dài cạnh hình vuông nhỏ. Chỉ nhập số nguyên.
Hai hình vuông chồng lên nhau sao cho đỉnh $A$ của hình vuông lớn cạnh 25 cm nằm tại tâm hình vuông nhỏ cạnh 24 cm. Trong hình, $AB=13$ cm. Tính chu vi phần tứ giác giao nhau được tô màu, theo xentimét. Chỉ nhập giá trị số.
Tứ giác ngoại tiếp $ABCD$ là tứ giác lồi có bốn cạnh tiếp xúc với một đường tròn. Biết $AD=16$, $BC=8$ và bán kính đường tròn bằng 4. Tính diện tích tứ giác. Chọn một phương án.
Định nghĩa $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$. Ví dụ, $4!=4\times3\times2\times1=24$ và $3!=3\times2\times1=6$. Rút gọn
$$\frac{41!+40!}{3\times39!+2\times39!+39!}.$$
Chọn một phương án.
Một số chỉ gồm các chữ số 1 khi viết trong hệ cơ số 3, nhưng chữ số cuối là 0 khi viết trong hệ cơ số 2. Số có bốn chữ số trong hệ cơ số 10 lớn nhất thỏa mãn tính chất này là bao nhiêu? Nhập giá trị cơ số 10 thông thường, không thêm chữ số 0 ở đầu.
Tìm $p+q+r$ với các số nguyên dương $p,q,r$ thỏa mãn
$$\gcd(p,q)=45,\quad\gcd(q,r)=21,\quad\gcd(p,r)=3,$$
$$\operatorname{lcm}(p,q)=4725,\quad\operatorname{lcm}(q,r)=11025,$$
$$\operatorname{lcm}(p,r)=6615.$$
Ở đây gcd là ước chung lớn nhất, lcm là bội chung nhỏ nhất. Chỉ nhập tổng dưới dạng số nguyên.
Andy và Brett xuất phát ở hai điểm đối diện trên đường chạy tròn có chu vi 600 feet và chạy theo các chiều mũi tên trong hình. Andy chạy 4.3 feet mỗi giây, Brett chạy 5.5 feet mỗi giây. Sau bao nhiêu giây họ gặp nhau lần đầu? Các mũi tên cho biết cả hai cùng chạy theo chiều kim đồng hồ. Chọn một phương án.
Đề nguồn yêu cầu: “Tìm tập có thứ tự các bộ bốn số nguyên dương $[w,x,y,z]$ sao cho $w+x+y+z=21$.”
**Cách hiểu và định dạng trả lời:** Phù hợp với bảng đáp án bằng số của nguồn, bản này yêu cầu số lượng bộ bốn có thứ tự, không yêu cầu liệt kê tất cả. Mỗi thành phần ít nhất bằng 1; đổi thứ tự có thể tạo một bộ khác. Chỉ nhập số lượng dưới dạng số nguyên.
Mẫu bìa trong hình gồm sáu hình vuông đánh số và được gấp thành một hình lập phương. Tích lớn nhất của các số trên ba mặt cùng gặp nhau tại một đỉnh là bao nhiêu? Chỉ nhập số nguyên.
