AMC 12B năm 2012

Mỗi lớp học lớp ba tại Trường tiểu học Pearl Creek có $18$ học sinh và $2$ thỏ cưng. Có bao nhiêu học sinh nhiều hơn số thỏ trong tất cả $4$ của các lớp học lớp ba?

Một hình tròn bán kính $5$ nội tiếp trong hình chữ nhật như hình vẽ. Tỷ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là $2:1.$ diện tích của hình chữ nhật là bao nhiêu?

Trong một dự án khoa học, Sammy đã quan sát một con sóc chuột và một con sóc đang nhét những quả đấu vào các lỗ. Con sóc chuột giấu những quả sồi $3$ trong mỗi cái hố mà nó đào. Con sóc giấu $4$ quả sồi trong mỗi cái hố mà nó đào. Mỗi người đều giấu số lượng quả sồi như nhau, mặc dù con sóc cần ít $4$ lỗ hơn. Sóc chuột đã giấu bao nhiêu quả sồi?

Giả sử đồng euro có giá trị $1.30$ đô la. Nếu Diana có $500$ đô la và Étienne có $400$ euro, thì giá trị tiền của Étienne lớn hơn giá trị tiền của Diana bao nhiêu phần trăm?

Hai số nguyên có tổng là $26.$ Khi thêm hai số nguyên nữa vào hai số nguyên đầu tiên, tổng là $41.$ Cuối cùng, khi thêm hai số nguyên nữa vào tổng của bốn số nguyên trước đó thì tổng là $57.$ Số lượng số nguyên chẵn tối thiểu trong số $6$ là bao nhiêu?

Để ước tính giá trị của $x-y$ trong đó $x$ và $y$ là các số thực với $x \gt y \gt 0,$ Xiaoli đã làm tròn $x$ lên một lượng nhỏ, làm tròn $y$ xuống cùng một lượng rồi trừ đi các giá trị được làm tròn của cô ấy. Phát biểu nào sau đây nhất thiết đúng?

Các đèn nhỏ được treo trên một sợi dây cách nhau $6$ inch theo thứ tự đỏ, đỏ, lục, lục, lục, đỏ, đỏ, lục, lục, lục, v.v., tiếp tục mẫu đèn đỏ $2$ này, sau đó là đèn xanh lục $3$. Đèn đỏ thứ $3$và đèn đỏ thứ $21$ cách nhau bao nhiêu feet?

Lưu ý: $1$ foot bằng $12$ inch.

Một đầu bếp món tráng miệng chuẩn bị món tráng miệng cho mọi ngày trong tuần bắt đầu từ Chủ Nhật. Món tráng miệng mỗi ngày là bánh ngọt, bánh nướng, kem hoặc bánh pudding. Món tráng miệng giống nhau không được phục vụ trong hai ngày liên tiếp. Phải có bánh vào thứ Sáu vì là sinh nhật. Có thể thực hiện được bao nhiêu thực đơn tráng miệng khác nhau trong tuần?

Clea mất $60$ giây để đi xuống thang cuốn khi thang cuốn không hoạt động và chỉ $24$ giây để đi xuống thang cuốn khi thang cuốn đang hoạt động. Clea mất bao nhiêu giây để đi xuống thang cuốn đang vận hành khi cô ấy chỉ đứng trên đó?

diện tích của đa giác có các đỉnh là giao điểm của các đường cong $x^2 + y^2 = 25$ và $(x - 4)^2 + 9y^2 = 81?$ là gì

Trong phương trình bên dưới, $A$ và $B$ là các số nguyên dương liên tiếp và $A,$ $B,$ và $A + B$ đại diện cho các cơ sở số: $$
132_A + 43_B = 69_{A+B}.
$$ $A + B?$ là gì

Có bao nhiêu chuỗi số 0 và/hoặc số có độ dài $20$ có tất cả các số 0 liên tiếp hoặc tất cả các số 0 liên tiếp hoặc cả hai?

Hai parabol có phương trình $y = x^2 + ax + b$ và $y = x^2 + cx + d,$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên (không nhất thiết phải khác nhau), mỗi số được chọn độc lập bằng cách tung xúc xắc sáu mặt hợp lý. xác suất mà các parabol có ít nhất một điểm chung là gì?

Bernardo và Silvia chơi trò chơi sau. Một số nguyên nằm trong khoảng từ $0$ đến $999,$, được chọn và trao cho Bernardo. Bất cứ khi nào Bernardo nhận được một con số, anh ấy sẽ nhân đôi nó và chuyển kết quả cho Silvia. Bất cứ khi nào Silvia nhận được một số, cô ấy thêm $50$ vào đó và chuyển kết quả cho Bernardo. Người chiến thắng là người cuối cùng tạo ra số nhỏ hơn $1000.$ Giả sử $N$ là số ban đầu nhỏ nhất mang lại chiến thắng cho Bernardo. Tổng các chữ số của $N?$ là bao nhiêu

Jesse cắt một đĩa giấy hình tròn có bán kính $12$ dọc theo hai bán kính để tạo thành hai cung, phần nhỏ hơn có góc ở tâm là $120$ độ. Anh ấy tạo ra hai hình nón tròn, sử dụng mỗi phần để tạo thành bề mặt bên của hình nón. Tỷ lệ thể tích của hình nón nhỏ hơn so với hình nón lớn hơn là bao nhiêu?

Amy, Beth và Jo nghe bốn bài hát khác nhau và thảo luận xem họ thích bài nào. Không có bài hát nào được cả ba người yêu thích. Hơn nữa, đối với mỗi cặp trong số ba cặp cô gái, có ít nhất một bài hát được hai cô gái đó thích nhưng người thứ ba lại không thích. Điều này có thể thực hiện được bằng bao nhiêu cách khác nhau?

Hình vuông $PQRS$ nằm ở góc phần tư thứ nhất. Điểm $(3, 0),$ $(5, 0),$ $(7, 0),$ và $(13, 0)$ lần lượt nằm trên các dòng $SP,$ $RQ,$ $PQ,$ và $SR,$. Tổng tọa độ tâm hình vuông $PQRS?$ là bao nhiêu

Đặt $(a_1, a_2, \ldots, a_{10})$ là danh sách các số nguyên dương $10$ đầu tiên sao cho với mỗi $2 \le i \le 10$ hoặc $a_i + 1$ hoặc $a_i - 1$ hoặc cả hai đều xuất hiện ở đâu đó trước $a_i$ trong danh sách. Có bao nhiêu danh sách như vậy?

Một khối đơn vị có các đỉnh $P_1,$ $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ $P_1',$ $P_2',$ $P_3',$ và $P_4'.$ Các đỉnh $P_2,$ $P_3,$ và $P_4$ liền kề với $P_1,$ và đối với $1 \le i \le 4,$ các đỉnh $P_i$ và $P_i'$ đối diện nhau. Một bát diện đều có một đỉnh ở mỗi đoạn $P_1P_2,$ $P_1P_3,$ $P_1P_4,$ $P_1'P_2',$ $P_1'P_3',$ và $P_1'P_4'.$ Độ dài cạnh của bát diện đó là bao nhiêu?

A hình thang có độ dài các cạnh $3,$ $5,$ $7,$ và $11.$ Tổng của tất cả các diện tích có thể có của hình thang có thể được viết dưới dạng $r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3,$ trong đó $r_1,$ $r_2,$ và $r_3$ là các số hữu tỷ và $n_1$ và $n_2$ là các số nguyên dương không phải chia hết cho bình phương của số nguyên tố. Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $$
r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2?
$$ là bao nhiêu