AMC 12B năm 2011

cái gì là

$$
\dfrac{2+4+6}{1+3+5} - \dfrac{1+3+5}{2+4+6}?
$$

Điểm kiểm tra của Josanna cho đến nay là $90,$ $80,$ $70,$ $60,$ và $85.$ Mục tiêu của cô là tăng điểm trung bình trong bài kiểm tra ít nhất $3$ trong bài kiểm tra tiếp theo. Điểm kiểm tra tối thiểu cô ấy cần để hoàn thành mục tiêu này là bao nhiêu?

LeRoy và Bernardo đã cùng nhau đi du lịch kéo dài một tuần và đồng ý chia đều chi phí. Trong tuần, mỗi người trong số họ đều thanh toán các chi phí chung khác nhau như xăng và thuê ô tô. Vào cuối chuyến đi, hóa ra LeRoy đã trả $A$ đô la và Bernardo đã trả $B$ đô la, trong đó $A \lt B.$ LeRoy phải đưa cho Bernardo bao nhiêu đô la để họ chia sẻ chi phí bằng nhau?

Khi nhân hai số nguyên dương $a$ và $b,$ Ron đã đảo ngược các chữ số của số có hai chữ số $a.$ Tích sai của anh ấy là $161.$ Giá trị đúng của tích của $a$ và $b?$ là bao nhiêu?

Đặt $N$ là số nguyên dương nhỏ thứ hai có chia hết cho mọi số nguyên dương nhỏ hơn $7.$ Tổng các chữ số của $N?$ là bao nhiêu

Hai tiếp tuyến của một đường tròn được vẽ từ một điểm $A.$ Các điểm tiếp xúc $B$ và $C$ chia đường tròn thành các cung có độ dài tỉ lệ $2:3.$ Số đo bậc của $\angle BAC?$ là bao nhiêu

Đặt $x$ và $y$ là số nguyên dương có hai chữ số với trung bình cộng $60.$ Giá trị tối đa của tỷ lệ $\dfrac{x}{y}?$ là bao nhiêu

Keiko đi bộ một vòng quanh đường đua với tốc độ không đổi như nhau mỗi ngày. Các cạnh của đường đua là thẳng và các đầu là hình bán nguyệt. Đường đua có chiều rộng $6$ mét và cô ấy phải mất $36$ giây để đi quanh mép ngoài của đường đua so với xung quanh mép trong. Tốc độ của Keiko tính bằng mét trên giây là bao nhiêu?

Hai số thực được chọn ngẫu nhiên độc lập trong khoảng $[-20, 10].$ xác suất mà tích của các số đó lớn hơn 0 là bao nhiêu?

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=6$ và $BC=3.$ Điểm $M$ được chọn ở bên $AB$ sao cho $\angle AMD=\angle CMD.$ Số đo độ của $\angle AMD?$ là bao nhiêu

Một con ếch nằm ở $(x, y),$ với cả hai số nguyên $x$ và $y$, thực hiện các bước nhảy liên tiếp có độ dài $5$ và luôn đáp xuống các điểm có tọa độ nguyên. Giả sử con ếch bắt đầu ở $(0, 0)$ và kết thúc ở $(1, 0).$ Số lần nhảy nhỏ nhất mà con ếch có thể thực hiện là bao nhiêu?

Bảng phi tiêu là một hình bát giác đều được chia thành các vùng như hình vẽ. Giả sử rằng một phi tiêu ném vào bảng có khả năng rơi vào bất kỳ vị trí nào trên bảng như nhau. xác suất mà phi tiêu rơi vào ô vuông trung tâm là gì?

Brian viết ra bốn số nguyên $w \gt x \gt y \gt z$ có tổng là $44.$ Hiệu dương theo cặp của các số này là $1,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ và $9.$ Tổng các giá trị có thể có của $w?$

Đoạn thẳng đi qua tiêu điểm $F$ của parabol có đỉnh $V$ vuông góc với $\overline{FV}$ và cắt parabol tại các điểm $A$ và $B.$ $\cos(\angle AVB)?$ là gì

Có bao nhiêu số nguyên dương có hai chữ số là thừa số của $2^{24}-1?$

Hình thoi $ABCD$ có độ dài cạnh $2$ và $\angle B=120^\circ.$ Vùng $R$ bao gồm tất cả các điểm bên trong hình thoi gần với đỉnh $B$ hơn bất kỳ đỉnh nào trong ba đỉnh còn lại. diện tích của $R?$ là gì

Đặt $f(x)=10^{10x},$ $g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),$ $h_1(x)=g(f(x)),$ và $h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))$ cho số nguyên $n\ge2.$ Tổng các chữ số của $h_{2011}(1)?$ là bao nhiêu

Hình chóp có đáy hình vuông với các cạnh dài $1$ và có các mặt bên là các hình tam giác đều. Một khối lập phương được đặt bên trong kim tự tháp sao cho một mặt nằm trên đáy của kim tự tháp và mặt đối diện của nó có tất cả các cạnh nằm trên các mặt bên của kim tự tháp. thể tích của khối này là gì?

Điểm mạng trong hệ tọa độ $xy$ là điểm bất kỳ $(x, y)$ trong đó cả $x$ và $y$ đều là số nguyên. Đồ thị của $y=mx+2$ không đi qua điểm mạng nào với $0 \lt x \le 100$ cho tất cả $m$ sao cho $\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.$ Giá trị tối đa có thể có của $a?$ là bao nhiêu

Tam giác $ABC$ có $AB=13,$ $BC=14,$ và $AC=15.$ Các điểm $D,$ $E,$ và $F$ là trung điểm của $AB,$ $BC,$ và $AC$ tương ứng. Đặt $X\ne E$ là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp của $\triangle BDE$ và $\triangle CEF.$ $XA+XB+XC?$ là gì