AMC 12A năm 2009

Chuyến bay của Kim cất cánh từ Newark lúc $10{:}34$ sáng và hạ cánh xuống Miami lúc $1{:}18$ chiều. Cả hai thành phố đều ở cùng múi giờ. Nếu chuyến bay của cô ấy mất $h$ giờ và $m$ phút, với $0 \le m \lt 60,$ thì $h + m?$ là bao nhiêu

Giá trị nào sau đây bằng $$
1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + 1}}?
$$

Số nào cách một phần ba quãng đường từ $\dfrac{1}{4}$ đến $\dfrac{3}{4}?$

Bốn đồng xu được nhặt ra từ một con heo đất chứa một bộ sưu tập các đồng xu, đồng xu, đồng xu và đồng xu. Giá trị nào sau đây không thể là tổng giá trị của bốn đồng tiền tính bằng xu?

Một chiều của hình lập phương được tăng lên $1,$ chiều khác giảm đi $1,$ và chiều thứ ba không thay đổi. thể tích của khối hình chữ nhật mới nhỏ hơn $5$ so với khối lập phương. thể tích của khối lập phương là gì?

Giả sử rằng $P = 2^m$ và $Q = 3^n.$ Giá trị nào sau đây bằng $12^{mn}$ với mọi cặp số nguyên $(m, n)?$

Ba số hạng đầu tiên của cấp số cộng lần lượt là $2x - 3,$ $5x - 11,$ và $3x + 1$. Số hạng thứ $n$của dãy là $2009.$ $n?$ là gì

Bốn hình chữ nhật bằng nhau được đặt như hình minh họa. diện tích của hình vuông bên ngoài gấp $4$ lần so với hình vuông bên trong. Tỉ lệ giữa chiều dài cạnh dài của mỗi hình chữ nhật và chiều dài cạnh ngắn của nó là bao nhiêu?

Giả sử rằng $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ và $f(x) = ax^2 + bx + c.$ $a + b + c?$ là gì

Trong tứ giác $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ và $BD$ là một số nguyên. $BD?$ là gì

Các số $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ và $F_4$ được hiển thị là số đầu tiên trong chuỗi các số liệu. Vì $n \ge 3,$ $F_n$ được xây dựng từ $F_{n-1}$ bằng cách bao quanh nó bằng một hình vuông và đặt thêm một viên kim cương ở mỗi cạnh của hình vuông mới so với $F_{n-1}$ ở mỗi cạnh của hình vuông bên ngoài. Ví dụ: hình $F_3$ có $13$ kim cương. Có bao nhiêu viên kim cương trong hình $F_{20}?$

Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn $1000$ bằng $6$ lần tổng các chữ số của chúng?

Một con tàu đi $10$ dặm theo đường thẳng từ $A$ đến $B,$ rẽ qua một góc giữa $45^\circ$ và $60^\circ,$ rồi đi một con tàu khác $20$ dặm đến $C.$ Hãy để $AC$ được đo bằng dặm. Khoảng nào sau đây chứa $AC^2?$

Một tam giác có các đỉnh $(0, 0),$ $(1, 1),$ và $(6m, 0),$ và đường thẳng $y = mx$ chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau diện tích. Tổng của tất cả các giá trị có thể có của $m?$ là bao nhiêu

Với giá trị nào của $n$ là $$
\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}
$$ Lưu ý: tại đây $i = \sqrt{-1}.$

Một đường tròn có tâm $C$ tiếp xúc với trục dương $x$- và $y$ và bên ngoài tiếp tuyến với đường tròn có tâm tại $(3, 0)$ với bán kính $1.$ Tổng tất cả các bán kính có thể có của đường tròn có tâm $C?$ là bao nhiêu

Đặt $a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots$ và $a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots$ là hai chuỗi hình học vô hạn khác nhau gồm các số dương có cùng số hạng đầu tiên. Tổng của chuỗi đầu tiên là $r_1,$ và tổng của chuỗi thứ hai là $r_2.$ $r_1 + r_2?$ là gì

Đối với $k \gt 0,$ đặt $I_k = 10\ldots064,$ trong đó có $k$ số 0 giữa $1$ và $6.$ Đặt $N(k)$ là số thừa số của $2$ trong hệ số nguyên tố của $I_k.$ Giá trị tối đa là bao nhiêu của $N(k)?$

Andrea nội tiếp một hình tròn bên trong một hình ngũ giác đều, khoanh tròn một hình tròn xung quanh hình ngũ giác đó và tính diện tích của vùng giữa hai hình tròn. Bethany cũng làm tương tự với một hình bảy cạnh thông thường ($7$ cạnh). Diện tích của hai vùng lần lượt là $A$ và $B,$. Mỗi đa giác có độ dài cạnh là $2.$ Điều nào sau đây là đúng?

Tứ giác lồi $ABCD$ có $AB = 9$ và $CD = 12.$ Các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E,$ $AC = 14,$ và $\triangle AED$ và $\triangle BEC$ có diện tích bằng nhau. $AE?$ là gì