IMSO 2011 Toán học - Tự luận quốc tế

Năm 2019 có 53 ngày thứ Ba. Ngày Pi (14 tháng 3) năm 2020 là thứ mấy?

Cho $a=0.363636\ldots$ và $b=0.515$. Tìm chữ số ở vị trí thứ 2011 sau dấu phẩy của tích $ab$.

Có sáu cơ sở kinh doanh ở hai bên một con phố, được đặt tên từ A đến F như hình. Cửa hàng được tô màu là A. Vị trí các cửa hàng được mô tả như sau:
(a) Cửa hàng bên phải A là hiệu sách.
(b) Đối diện hiệu sách là cửa hàng hoa.
(c) Tiệm bánh nằm cạnh cửa hàng hoa.
(d) Cửa hàng E nằm đối diện cửa hàng D.
(e) Khách sạn nằm cạnh cửa hàng E.
(f) Cửa hàng E và cửa hàng văn phòng phẩm nằm cùng phía con phố.
Cửa hàng A kinh doanh loại gì?

Lưu ý nguồn: sơ đồ được cung cấp có sáu biểu tượng cửa hàng nhưng thiếu các nhãn A–F và dấu tô để nhận diện cửa hàng A. Bảng đáp án in sẵn cho câu này 3 điểm thưởng.

Chia 111 quả táo cho 9 em, mỗi em nhận một số táo khác nhau. Em nhận ít nhất là em số 1, còn em nhận nhiều nhất là em số 9. Em số 9 có thể nhận ít nhất bao nhiêu quả táo?

Tìm tất cả các số có sáu chữ số $\overline{x2011y}$ chia hết cho 36, với $x,y$ là các chữ số.

Số đối xứng đọc từ trái sang phải hay từ phải sang trái đều như nhau. Ví dụ 246642, 131 và 5005 là các số đối xứng. Tìm số đối xứng chẵn nhỏ nhất lớn hơn 56789 và chia hết cho 7.

Ben và Josh cùng phải sơn 3 ngôi nhà và 20 hàng rào. Ben mất 5 giờ để sơn một nhà và 3 giờ để sơn một hàng rào. Josh mất 2 giờ để sơn một nhà và 1 giờ để sơn một hàng rào. Họ cần ít nhất bao nhiêu giờ để hoàn thành toàn bộ công việc?

Một người nông dân bảo con chọn năm quả dưa hấu đem bán ở chợ phiên. Dưa được bán theo cân nặng nên phải cân trước khi đi. Người con nhầm, cân từng cặp thay vì từng quả. Mười kết quả cân, tính bằng pound, là 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30 và 31. Mỗi quả dưa nặng bao nhiêu?

Andy sẽ đổ nước vào bể A hoặc bể B để đạt mực nước cao nhất sau 20 phút. Bể A có kích thước $60\text{ cm}\times10\text{ cm}\times30\text{ cm}$, bể B có kích thước $20\text{ cm}\times20\text{ cm}\times30\text{ cm}$. Bể B rò $150\text{ cm}^3$ mỗi phút. Andy nên chọn bể nào nếu vòi cấp $600\text{ cm}^3$ mỗi phút?

Có bao nhiêu cách chọn sáu số nguyên dương liên tiếp trong các số từ 1 đến 999 sao cho tích của chúng tận cùng bằng đúng bốn chữ số 0?

Có 276 học sinh ngồi trong hội trường gồm 22 hàng ghế, mỗi hàng có 15 chỗ. Chắc chắn có ít nhất bao nhiêu hàng có cùng số học sinh?

Trong tam giác $ABC$, $X,Y$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$. Hai đường $AY,CX$ cắt nhau tại $G$. Biết $AG=12$, $CG=16$, $XY=10$. Tính diện tích tam giác $GXY$.

Hình vẽ gồm một hình vuông và 12 nửa hình tròn bằng nhau. Các điểm $C,D$ là các đầu mút, còn $A,B$ là tâm của các nửa hình tròn. Biết $AB=2011$, tính tổng diện tích tất cả các miền được tô màu.