Skip to content / Đến nội dung
ThichHocToan.com

IMSO 2007 Toán học — Tuyển chọn Đài Loan vòng hai, tự luận

Câu hỏi 1

Hướng dẫn nguồn: Làm cả 10 câu và trình bày lời giải chi tiết. Mỗi câu 4 điểm. Thời gian 60 phút.

Cho số có 400 chữ số $12345678901234567890\ldots890$.

Bước 1: Gạch bỏ tất cả chữ số ở các vị trí mang số thứ tự lẻ.

Bước 2: Trong dãy chữ số còn lại, gạch bỏ tất cả chữ số ở các vị trí mang số thứ tự lẻ.

…

Tiếp tục cho đến khi không còn chữ số nào. Chữ số cuối cùng bị gạch bỏ là chữ số nào?

Câu hỏi 2

Một phố có các nhà được đánh số từ 1 đến 302, kể cả hai đầu. Người ta làm lại biển số nhà bằng các chữ số bằng đồng thau. Cần tổng cộng bao nhiêu chữ số “2”?

Câu hỏi 3

Ba loại hàng X, Y và Z được bán như sau: 8 món X giá 1 đô la; mỗi món Y giá 1 đô la; mỗi món Z giá 10 đô la. Bạn mua cả ba loại, tổng cộng đúng 100 món với giá 100 đô la. Bạn mua bao nhiêu món Y?

Câu hỏi 4

Hai cây nến có chiều dài và độ dày khác nhau. Cây dài hơn có thể cháy trong 7 giờ, cây ngắn hơn trong 10 giờ. Sau khi cùng cháy 3 giờ, hai cây còn lại dài bằng nhau. Tỉ số chiều dài ban đầu của cây ngắn hơn và cây dài hơn là bao nhiêu?

Câu hỏi 5

John làm thêm mùa hè ở một trang trại. Bạn cần cân bốn bao khoai tây, mỗi bao nặng hơn 60 kg và nhẹ hơn 100 kg, nhưng cân chỉ cân được khối lượng lớn hơn 100 kg. John cân từng cặp bao và thu được các số đo 124, 132, 134, 138, 140, 148 kg. Bao nhẹ nhất nặng bao nhiêu kilôgam?

Câu hỏi 6

Hình vẽ là mặt bằng một tòa nhà có sân trong và hai cổng vào. Người qua đường được nhìn qua cổng nhưng không được đi vào. Các kích thước trong hình tính bằng mét và tất cả các góc của công trình đều là góc vuông. Phần sân không thể nhìn thấy từ bên ngoài có diện tích bao nhiêu mét vuông?

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 7

Trong hình, $\angle PQR=6^\circ$ và một dãy tam giác cân được vẽ như hình minh họa. Có thể vẽ nhiều nhất bao nhiêu tam giác như vậy?

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 8

Cho $n=9+99+999+\cdots+99\ldots9$, trong đó số hạng cuối có 99 chữ số 9. Chữ số 1 xuất hiện bao nhiêu lần trong $n$?

Câu hỏi 9

Phép nhân dưới đây, kể cả kết quả, dùng mỗi chữ số từ 0 đến 9 đúng một lần. Đã điền sẵn bốn chữ số. Hãy điền các chữ số còn lại.

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 10

Bốn đường tròn biểu diễn bốn đường đua rải xỉ. Bốn người đi xe đạp cùng xuất phát lúc 12 giờ trưa; mỗi người đi quanh một đường tròn riêng. Vận tốc lần lượt là 6, 9, 12 và 15 dặm mỗi giờ. Họ thỏa thuận đi cho đến khi cả bốn gặp nhau lần thứ tư tại điểm trung tâm nơi xuất phát. Mỗi đường tròn dài đúng một phần ba dặm. Họ kết thúc vào lúc nào?

Hình minh họa câu hỏi