IMSO 2023 Toán — Quốc tế, Trả lời ngắn

Hình dưới là hình khai triển của một hình lập phương. Ghi các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lên sáu mặt, mỗi số đúng một lần, sao cho tổng hai mặt đối diện luôn bằng 7. Giá trị lớn nhất của $A\times(B^2+C)$ là bao nhiêu?

Trung bình cộng của 20 số là 18. Tăng số thứ nhất thêm 2, số thứ hai thêm 4, số thứ ba thêm 6, …, số thứ hai mươi thêm 40. Trung bình cộng mới của 20 số là bao nhiêu?

Trên bảng có mười hai số nguyên dương liên tiếp. Maria xóa một số. Tổng các số còn lại là 2023. Maria đã xóa số nào?

Chữ số tận cùng bên trái của một số có sáu chữ số là 5. Khi xóa chữ số đó, số ban đầu bằng 26 lần số mới. Tổng các chữ số của số mới là bao nhiêu?

Bà Anne có hai loại quả: táo và cam. Số táo gấp 4 lần số cam. Sau khi trẻ em ăn một số quả, số táo còn lại gấp 7 lần số cam còn lại. Ban đầu bà Anne có ít nhất tất cả bao nhiêu quả?

Cho $\frac{a+b+c+d-29}{6}=21$, với a, b, c, d là các số nguyên dương. Biết $(a+c):(b+d)=2:3$, $a<c$ và $b<d$. Giá trị lớn nhất của $a+b$ là bao nhiêu?

Trong hình, ABCD là hình vuông. Tất cả các cung trong hình thuộc các đường tròn bằng nhau. Diện tích phần tô màu bằng bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$? (Dùng $\pi=\frac{22}{7}$.)

Sarah mua một số hoa hồng. Bạn cho Patty một nửa số hoa rồi thêm 13 bông. Tiếp đó, bạn cho Sunny một phần ba số còn lại rồi thêm 8 bông. Sau đó bạn cho Nicky một phần tư số còn lại rồi thêm 11 bông. Cuối cùng Sarah còn 4 bông cho mình. Ban đầu Sarah mua bao nhiêu bông?

Sắp các số nguyên dương 1, 2, 3, 4, … theo thứ tự trong hình. Các số 2, 3, 5, 7, 10, … được gọi là “số tại chỗ rẽ” vì mũi tên đi vào và đi ra đổi hướng tại đó. Có bao nhiêu số tại chỗ rẽ nằm giữa 529 và 1000?

Trong giải cầu lông có 14 người, mỗi người đấu với mỗi người khác đúng một lần. Thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm, thua được 0 điểm. Người đạt ít nhất 18 điểm được giải. Nhiều nhất có bao nhiêu người được giải?

Có 10 số nguyên dương. Từ số thứ ba trở đi, mỗi số bằng tổng hai số đứng trước. Nếu số thứ mười không vượt quá 2022 thì tổng hai số đầu lớn nhất là bao nhiêu?

Trong hộp có 80 thẻ, ghi các số từ 1 đến 80. Có thể lấy ra nhiều nhất bao nhiêu thẻ sao cho không có hai thẻ nào có tổng bằng 123?

Số đối xứng là số không đổi khi đảo thứ tự các chữ số. Số đối xứng nhỏ nhất có 7 chữ số là 1000001, lớn nhất là 9999999. Số đối xứng có 7 chữ số thứ 2023 theo thứ tự tăng dần là số nào?

Số có ba chữ số $\overline{abc}$ lớn nhất thỏa mãn $\overline{abc}=10a+10b^3+c^2$ là số nào, biết a, b, c là các chữ số khác nhau?

Trong hình, ABCD là hình bình hành có chu vi 36 cm, $DF=CF$, $\angle DAB=60^\circ$, $\angle FCB=30^\circ$, $\angle DEC=90^\circ$ và $\angle DBC=90^\circ$. Độ dài AB bằng bao nhiêu cm?

Tính tổng tất cả các số có 4 chữ số không chia hết cho 3, được tạo từ các chữ số 1, 2, 3, 5, 7 và không lặp chữ số.

Từ 05:00 đến 06:00, sau bao nhiêu phút tính từ 05:00 thì hai kim đồng hồ lần thứ nhất và lần thứ hai tạo góc $110^\circ$?

Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{1\times9}+\frac{2}{9\times25}+\frac{3}{25\times49}+\cdots+\frac{15}{841\times961}=\frac ab$. Biết $\gcd(a,b)=1$. Tính a+b.

Trong hình, tam giác ABC vuông tại A. M là trung điểm BC; D nằm trên BC sao cho AD vuông góc BC; E nằm trên đường thẳng BC kéo dài sao cho AM vuông góc AE. Biết AM=22 và DM=10. Tính độ dài CE.

Có 20 hành khách trên xe buýt, giá vé mỗi người là 5 đô la. Họ chỉ có các tờ tiền 10, 15 và 20 đô la. Bằng cách đổi tiền với nhau, họ gom được đúng tổng tiền vé và mỗi người cũng nhận đúng tiền thừa. Cần ít nhất bao nhiêu tờ tiền?