AMC 12 năm 1982

Khi đa thức $x^3-2$ được chia cho đa thức $x^2-2,$ thì số dư là

Nếu một số lớn gấp tám lần $x$ tăng thêm hai thì một phần tư kết quả bằng

Đánh giá $(x^x)^{(x^x)}$ tại $x=2.$

chu vi của một vùng hình bán nguyệt, được đo bằng cm, bằng về mặt số với diện tích của nó, được đo bằng cm vuông. Bán kính của hình bán nguyệt đo bằng cm là

Hai số dương $x$ và $y$ tỷ lệ với $a:b,$ trong đó $0\lt a\lt b.$ Nếu $x+y=c,$ thì số nhỏ hơn của $x$ và $y$ là

Tổng của tất cả trừ một góc trong của đa giác lồi bằng $2570^\circ.$ Góc còn lại là

Nếu phép toán $x*y$ được xác định bởi $x*y=(x+1)(y+1)-1,$ thì điều nào sau đây là sai?

Theo định nghĩa $r!=r(r-1)\cdots1$ và $\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},$ trong đó $r,$ $j,$ $k$ là các số nguyên dương và $k\lt j.$ Nếu $\binom n1,$ $\binom n2,$ $\binom n3$ tạo thành một cấp số cộng với $n\gt3,$ thì $n$ bằng

Một đường thẳng đứng chia tam giác có các đỉnh $(0,0),$ $(1,1)$ và $(9,1)$ trong mặt phẳng $xy$ thành hai vùng bằng nhau diện tích. Phương trình của đường thẳng là $x=$

Trong sơ đồ liền kề, $BO$ chia đôi $\angle CBA,$ $CO$ chia đôi $\angle ACB,$ và $MN$ song song với $BC.$ Nếu $AB=12,$ $BC=24,$ và $AC=18,$ thì chu vi của $\triangle AMN$ là

Có bao nhiêu số nguyên có bốn chữ số khác nhau giữa $1{,}000$ và $9{,}999$ sao cho giá trị tuyệt đối của chênh lệch giữa chữ số đầu tiên và chữ số cuối cùng là $2?$

Đặt $f(x)=ax^7+bx^3+cx-5,$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là hằng số. Nếu $f(-7)=7,$ thì $f(7)$ bằng

Nếu $a\gt1,$ $b\gt1$ và $p=\frac{\log_b(\log_ba)}{\log_ba},$ thì $a^p$ bằng

Trong hình bên cạnh, các điểm $B$ và $C$ nằm trên đoạn thẳng $AD,$ và $AB,$ $BC,$ và $CD$ là đường kính của các vòng tròn $O,$ $N,$ và $P,$ tương ứng. Các đường tròn $O,$ $N,$ và $P$ đều có bán kính $15,$ và đường thẳng $AG$ tiếp xúc với đường tròn $P$ tại $G.$ Nếu $AG$ cắt đường tròn $N$ tại các điểm $E$ và $F,$ thì dây cung $EF$ có độ dài

Đặt $\lfloor z\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá $z.$ Đặt $x$ và $y$ thỏa mãn các phương trình đồng thời $$
\begin{aligned} y&=2\lfloor x\rfloor+3,\\ y&=3\lfloor x-2\rfloor+5. \end{aligned}
$$ Nếu $x$ không phải là số nguyên thì $x+y$ là

Trong hình bên cạnh, một khối gỗ có các cạnh dài $3$ mét. Các lỗ hình vuông có cạnh một mét, có tâm ở mỗi mặt, được cắt xuyên sang mặt đối diện. Các cạnh của các lỗ song song với các cạnh của khối lập phương. Toàn bộ bề mặt diện tích bao gồm cả bên trong, tính bằng mét vuông, là

Có bao nhiêu số thực $x$ thỏa mãn phương trình $3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0?$

Trong hình liền kề của một khối hình chữ nhật, $\angle DHG=45^\circ$ và $\angle FHB=60^\circ.$ Tìm cosin của $\angle BHD.$

Đặt $f(x)=|x-2|+|x-4|$ $-|2x-6|,$ cho $2\le x\le8.$ Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(x)$ là

Số cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $x^2+y^2=x^3$ là