AMC 12 năm 1981

Nếu $\sqrt{x+2}=2,$ thì $(x+2)^2$ bằng

Điểm $E$ nằm trên cạnh $AB$ của hình vuông $ABCD.$ Nếu $EB$ có chiều dài một và $EC$ có chiều dài hai thì diện tích của hình vuông là

Với $x\ne0,$ $\frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x}$ bằng

Nếu số lớn hơn gấp ba lần số nhỏ hơn bốn lần và hiệu giữa các số là $8,$ thì số lớn hơn trong hai số là

Trong hình thang $ABCD,$ các cạnh $AB$ và $CD$ song song và đường chéo $BD$ và cạnh $AD$ có độ dài bằng nhau. Nếu $\angle DCB=110^\circ$ và $\angle CBD=30^\circ,$ thì $\angle ADB=$

Nếu $\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2},$ thì $x$ bằng

Có bao nhiêu trong số một trăm số nguyên dương đầu tiên là chia hết cho tất cả các số $2,$ $3,$ $4,$ $5?$

Đối với tất cả các số dương $x,$ $y,$ $z,$ tích $$
\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}
$$ bằng

Trong hình bên cạnh, $PQ$ là đường chéo của hình lập phương. Nếu $PQ$ có chiều dài $a,$ thì bề mặt diện tích của hình lập phương là

Các đường thẳng $L$ và $K$ đối xứng với nhau đối với đường thẳng $y=x.$ Nếu phương trình của đường thẳng $L$ là $y=ax+b$ với $a\ne0$ và $b\ne0,$ thì phương trình của $K$ là $y=$

Ba cạnh của tam giác vuông có độ dài nguyên tạo thành một cấp số cộng. Một trong các cạnh có thể có chiều dài

Nếu $p,$ $q,$ và $M$ là các số dương và $q\lt100,$ thì số thu được bằng cách tăng $M$ lên $p\%$ và giảm kết quả đi $q\%$ vượt quá $M$ khi và chỉ khi

Giả sử rằng vào cuối năm bất kỳ, một đơn vị tiền đã mất $10\%$ giá trị mà nó có vào đầu năm đó. Tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho sau $n$ năm đơn vị tiền sẽ mất ít nhất $90\%$ giá trị của nó. (Tới phần nghìn $\log_{10}3$ gần nhất là $0.477.$)

Trong cấp số nhân số thực, tổng của hai số hạng đầu tiên là $7,$ và tổng của sáu số hạng đầu tiên là $91.$ Tổng của bốn số hạng đầu tiên là

Nếu $b\gt1,$ $x\gt0,$ và $(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,$ thì $x$ là

Biểu diễn cơ số ba của $x$ là $$
12112211122211112222.
$$ Chữ số đầu tiên (ở bên trái) của biểu diễn cơ số chín của $x$ là

Hàm $f$ không được xác định cho $x=0,$ nhưng, đối với tất cả các số thực khác 0 $x,$ $$
f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.
$$ Phương trình $f(x)=f(-x)$ được thỏa mãn bởi

Số nghiệm thực của phương trình $$
\frac{x}{100}=\sin x
$$ là

Trong $\triangle ABC,$ $M$ là trung điểm của cạnh $BC,$ $AN$ chia đôi $\angle BAC,$ $BN\perp AN,$ và $\theta$ là số đo của $\angle BAC.$ Nếu các cạnh $AB$ và $AC$ có độ dài tương ứng là $14$ và $19,$ thì độ dài $MN$ bằng

Một tia sáng bắt nguồn từ điểm $A$ và truyền trong một mặt phẳng, bị phản xạ $n$ lần giữa các đường thẳng $AD$ và $CD,$ trước khi chạm vào một điểm $B$ (có thể nằm trên $AD$ hoặc $CD$) vuông góc và đi theo đường đi của nó tới $A.$ (Tại mỗi điểm phản xạ, ánh sáng tạo thành hai góc bằng nhau như được chỉ ra trong hình liền kề. Hình này hiển thị đường đi của ánh sáng cho $n=3.$) Nếu $\angle CDA=8^\circ,$ giá trị lớn nhất $n$ có thể có là bao nhiêu?