AMC 12 năm 1977

Nếu $y=2x$ và $z=2y,$ thì $x+y+z$ bằng

Phát biểu nào sau đây là sai? Mọi tam giác đều đều

Một người đàn ông có $\$2.73$ bằng đồng xu, biệt danh, đồng hào, đồng 25 xu và nửa đô la. Nếu anh ta có số xu mỗi loại bằng nhau thì tổng số xu anh ta có là

Trong tam giác $ABC,$ $AB=AC$ và $\angle A=80^\circ.$ Nếu các điểm $D,$ $E$ và $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,$ $AC$ và $AB,$, và $CE=CD$ và $BF=BD,$ thì $\angle EDF$ bằng

Tập hợp tất cả các điểm $P$ sao cho tổng khoảng cách (vô hướng) từ $P$ đến hai điểm cố định $A$ và $B$ bằng khoảng cách giữa $A$ và $B$ là

Nếu $x,$ $y$ và $2x+\frac y2$ không bằng 0 thì $$
\left(2x+\frac y2\right)^{-1}\left[(2x)^{-1}+\left(\frac y2\right)^{-1}\right]
$$ bằng

Nếu $t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}},$ thì $t$ bằng

Với mọi bộ ba $(a,b,c)$ số thực khác 0, tạo thành số $$
\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}.
$$ Tập hợp tất cả các số được tạo thành là

Trong hình liền kề $\angle E=40^\circ$ và cung $AB,$ cung $BC$ và cung $CD$ đều có độ dài bằng nhau. Tìm số đo của $\angle ACD.$

Nếu $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0,$ thì $a_7+a_6+\cdots+a_0$ bằng

Đối với mỗi số thực $x,$ đặt $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ (tức là số nguyên $n$ sao cho $n\le x\lt n+1$). Khẳng định nào sau đây là (là) đúng?

$\mathrm{I}.$ $[x+1]=[x]+1$ cho tất cả $x$

$\mathrm{II}.$ $[x+y]=[x]+[y]$ cho tất cả $x$ và $y$

$\mathrm{III}.$ $[xy]=[x][y]$ cho tất cả $x$ và $y$

Tuổi của Al lớn hơn $16$ tổng của tuổi Bob và tuổi của Carl, và bình phương tuổi của Al lớn hơn $1632$ bình phương của tổng tuổi Bob và tuổi Carl. Tổng số tuổi của Al, Bob và Carl là

Nếu $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ là một dãy số dương sao cho $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ ứng với mọi số nguyên dương $n,$ thì dãy $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ là một cấp số nhân

Có bao nhiêu cặp $(m,n)$ số nguyên thỏa mãn phương trình $m+n=mn?$

Mỗi trong số ba đường tròn ở hình bên cạnh tiếp xúc ngoài với hai đường tròn còn lại và mỗi cạnh của tam giác tiếp xúc với hai đường tròn. Nếu mỗi đường tròn có bán kính bằng 3 thì chu vi của tam giác là

Nếu $i^2=-1,$ thì tổng $$
\begin{aligned} &\cos45^\circ+i\cos135^\circ+\cdots\\ &\quad+i^n\cos(45+90n)^\circ+\cdots\\ &\quad+i^{40}\cos3645^\circ \end{aligned}
$$ bằng

Ba viên xúc xắc công bằng được tung ngẫu nhiên (tức là tất cả các mặt đều có cùng xác suất lần xuất hiện). xác suất mà ba số được đưa lên có thể được sắp xếp để tạo thành một cấp số cộng có sai phân chung là một là bao nhiêu?

Nếu $$
\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32), \end{aligned}
$$ thì

Đặt $E$ là giao điểm của các đường chéo của tứ giác lồi $ABCD,$ và đặt $P,$ $Q,$ $R$ và $S$ là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABE,$ $BCE,$ $CDE$ và $ADE,$ tương ứng. Sau đó

Có bao nhiêu đường đi bao gồm một chuỗi các đoạn đường ngang và/hoặc đường thẳng đứng, với mỗi đoạn nối một cặp chữ cái liền kề trong sơ đồ bên dưới, từ CUỘC THI có được đánh vần khi đường đi đi từ đầu đến cuối không?