AMC10 năm 2027 - Tự luyện tập Set 5

Cho $M=\dfrac{3^{100}+2^{100}}{3^{96}+2^{96}}$. Số nguyên lớn nhất không vượt quá $M$ bằng bao nhiêu?

Bernardo chọn đều ba chữ số khác nhau từ $\{1,2,\ldots,9\}$ rồi xếp giảm dần để tạo số có ba chữ số. Silvia chọn độc lập và đều ba chữ số khác nhau từ $\{1,2,\ldots,8\}$ rồi cũng xếp giảm dần. Xác suất để số của Bernardo lớn hơn số của Silvia là bao nhiêu?

Một ống hình trụ có đường kính $30\text{ cm}$ và chiều cao $80\text{ cm}$. Một dải màu xám có độ rộng theo chiều ngang $3\text{ cm}$ được sơn quanh ống, xoắn đúng hai vòng như hình. Diện tích dải sơn là bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Bác Brown lái xe trong một số nguyên dương giờ với vận tốc trung bình 55 km/h. Công-tơ-mét trước chuyến đi chỉ $\overline{abc}$, sau chuyến đi chỉ $\overline{cba}$, với $a\ge1$ và $a+b+c\le7$. Tìm $a^2+b^2+c^2$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$, chẳng hạn $S(6920)=17$. Biết $S(n)=1274$. Giá trị nào sau đây có thể là $S(n+1)$?

Al, Bill và Cal được gán ngẫu nhiên ba số nguyên khác nhau từ $1$ đến $10$, mọi bộ có thứ tự có xác suất như nhau. Xác suất để số của Al là bội của số của Bill, đồng thời số của Bill là bội của số của Cal, bằng bao nhiêu?

Một khối cầu tiếp xúc với cả hai đáy và mặt bên của một nón cụt tròn xoay đứng như hình. Thể tích nón cụt gấp hai lần thể tích khối cầu. Tỉ số bán kính đáy dưới với bán kính đáy trên bằng bao nhiêu?

Hai số thực phân biệt khác 0 $x,y$ thỏa mãn $x+\frac2x=y+\frac2y$. Tìm $xy$.

Cho $S=1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdot5!\cdot6!\cdot7!\cdot8!\cdot9!\cdot10!$. Có bao nhiêu ước dương của $S$ là số chính phương?

Điền ngẫu nhiên các số $1,2,\ldots,9$ vào chín ô của một bảng $3\times3$, mỗi ô một số và mỗi số dùng đúng một lần. Xác suất để tổng các số trong mỗi hàng và mỗi cột đều lẻ là bao nhiêu?

Hình chữ nhật $ABCD$ có $DC=2CB$. Điểm $E,F$ nằm trên $AB$, sao cho $DE,DF$ chia góc $ADC$ thành ba góc bằng nhau như hình. Tìm tỉ số diện tích tam giác $DEF$ với hình chữ nhật $ABCD$.

Một cấp số cộng có ba số hạng đầu $2x-3$, $5x-11$, $3x+1$ và số hạng thứ $n$ bằng 2009. Tìm $n$.

Trong biểu diễn theo cơ số $7$ của một số nguyên dương nhỏ hơn $2019$, tổng các chữ số có thể đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hai viên xúc xắc có các mặt đánh số từ $1$ đến $6$. Tháo cả $12$ nhãn số, bỏ vào túi, rồi lấy ngẫu nhiên từng nhãn để gắn lại vào $12$ mặt, mỗi mặt một nhãn. Sau đó gieo độc lập hai viên xúc xắc công bằng. Xác suất để tổng hai số trên mặt ngửa bằng $7$ là bao nhiêu?

Sáu chiếc đĩa hình chữ nhật được xếp lên một bàn tròn bán kính $4$ như hình. Mỗi đĩa rộng $1$ và dài $x$. Tìm $x$.

Một hình chữ nhật có hai cạnh là số nguyên dương (cm), diện tích $A$ (cm $^2$), chu vi $P$ (cm). Số nào không thể bằng $A+P$?

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n^2-19n+99$ là một số chính phương?

Chọn độc lập và đều hai số thực $x,y$ trong $[0,1]$. Giá trị nào dưới đây gần nhất với xác suất để $x,y,1$ là độ dài ba cạnh của một tam giác tù?

Tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. Điểm $D$ là trung điểm $BC$. Tìm tổng bán kính của hai đường tròn nội tiếp các tam giác $ADB$ và $ADC$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương có thứ tự $(m,n)$ thỏa mãn $\frac4m+\frac2n=1$?