Câu hỏi 1
Cho $A,B,C$ là ba góc của một tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
$$\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2\lt \frac14.$$
$$\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2\lt \frac14.$$
VMO 1970 — Bảng A
Câu hỏi 2
Tìm tất cả các số tự nhiên không chia hết cho $45$ mà là ước số của số $N=1890$. Có bao nhiêu số như thế?
Câu hỏi 3
Với mỗi điểm $(x,y)$ trong mặt phẳng tọa độ người ta cho ứng với một số thực $f(x,y)$. Giả sử rằng:
(a) $f(x,0)=ax$ với $a$ là một hằng số khác không;
(b) nếu $(x_1,y_1)$ và $(x_2,y_2)$ là hai điểm phân biệt mà $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$ thì $f(x,y)$ có giá trị không đổi tại mọi điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Hãy chứng minh rằng:
(a) với mọi số thực $\alpha$, tập hợp tất cả các điểm $(x,y)$ tại đó $f(x,y)=\alpha$ là một đường thẳng $D_\alpha$ và tất cả các đường thẳng $D_\alpha$ đó đều song song với nhau;
(b) với mọi $x,y$ ta có $f(x,y)=ax+by$, trong đó $b$ là một hằng số.
(a) $f(x,0)=ax$ với $a$ là một hằng số khác không;
(b) nếu $(x_1,y_1)$ và $(x_2,y_2)$ là hai điểm phân biệt mà $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$ thì $f(x,y)$ có giá trị không đổi tại mọi điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Hãy chứng minh rằng:
(a) với mọi số thực $\alpha$, tập hợp tất cả các điểm $(x,y)$ tại đó $f(x,y)=\alpha$ là một đường thẳng $D_\alpha$ và tất cả các đường thẳng $D_\alpha$ đó đều song song với nhau;
(b) với mọi $x,y$ ta có $f(x,y)=ax+by$, trong đó $b$ là một hằng số.
Câu hỏi 4
Cho một vòng tròn cố định tâm $O$ bán kính $R$ với hai đường kính vuông góc cố định $AB,CD$ và tiếp tuyến $At$ tại điểm $A$. Một điểm $M$ chạy trên đường tròn đó, các đường thẳng $BM,DM$ cắt $At$ theo thứ tự ở $P$ và $Q$.
(a) Khi điểm $M$ chạy trên đường tròn thì $P,Q$ luôn có mối liên hệ sau đây: khoảng cách giữa hai điểm $P$ và $Q$ là tỉ lệ thứ tư của ba đoạn thẳng $AP,AQ$ và đường kính. Sau đó tìm cách biểu diễn mối liên hệ này bằng một công thức đơn giản nhất.
(b) Dùng thước và compa dựng điểm $M$ sao cho $BQ$ và $DP$ song song với nhau.
(c) Hai đường thẳng $OP$ và $BQ$ cắt nhau ở $N$. Dự đoán quỹ tích của $N$ rồi chứng minh nó.
(d) $BP$ và $BQ$ cắt tiếp tuyến ở điểm $D$ theo thứ tự ở $P'$ và $Q'$. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $P'$ và $Q'$? Chứng minh nhận xét đó. $DP$ và $DQ$ cắt đường thẳng $BC$ ở $P''$ và $Q''$. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $P''$ và $Q''$? Chứng minh nhận xét đó.
Chú thích biên tập: xét các cấu hình mà các đường thẳng đã nêu và giao điểm hữu hạn được xác định. Giữ nguyên câu chữ nguồn ở (a), kể cả thứ tự ba độ dài, để phân tích trong lời giải.
(a) Khi điểm $M$ chạy trên đường tròn thì $P,Q$ luôn có mối liên hệ sau đây: khoảng cách giữa hai điểm $P$ và $Q$ là tỉ lệ thứ tư của ba đoạn thẳng $AP,AQ$ và đường kính. Sau đó tìm cách biểu diễn mối liên hệ này bằng một công thức đơn giản nhất.
(b) Dùng thước và compa dựng điểm $M$ sao cho $BQ$ và $DP$ song song với nhau.
(c) Hai đường thẳng $OP$ và $BQ$ cắt nhau ở $N$. Dự đoán quỹ tích của $N$ rồi chứng minh nó.
(d) $BP$ và $BQ$ cắt tiếp tuyến ở điểm $D$ theo thứ tự ở $P'$ và $Q'$. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $P'$ và $Q'$? Chứng minh nhận xét đó. $DP$ và $DQ$ cắt đường thẳng $BC$ ở $P''$ và $Q''$. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $P''$ và $Q''$? Chứng minh nhận xét đó.
Chú thích biên tập: xét các cấu hình mà các đường thẳng đã nêu và giao điểm hữu hạn được xác định. Giữ nguyên câu chữ nguồn ở (a), kể cả thứ tự ba độ dài, để phân tích trong lời giải.
Câu hỏi 5
Cho một khối lập phương $ABCDEFGH$ và một mặt phẳng $P$ đi qua đỉnh $A$ và với ba cạnh $AB,AD,AE$ ba góc bằng nhau.
(a) Tính cosin chung của ba góc bằng nhau đó và dựng hình chiếu vuông góc của khối lập phương xuống mặt phẳng $P$.
(b) Căn cứ vào hình chiếu này để phát hiện ra những quan hệ đáng chú ý (càng phát hiện càng nhiều càng tốt) giữa mặt phẳng $P$ với các đường thẳng nối các cặp điểm lấy trong tám điểm $A,B,C,D,E,F,G,H$ và các mặt phẳng chứa từng bộ ba điểm cũng lấy trong tám điểm đó.
(a) Tính cosin chung của ba góc bằng nhau đó và dựng hình chiếu vuông góc của khối lập phương xuống mặt phẳng $P$.
(b) Căn cứ vào hình chiếu này để phát hiện ra những quan hệ đáng chú ý (càng phát hiện càng nhiều càng tốt) giữa mặt phẳng $P$ với các đường thẳng nối các cặp điểm lấy trong tám điểm $A,B,C,D,E,F,G,H$ và các mặt phẳng chứa từng bộ ba điểm cũng lấy trong tám điểm đó.