Câu hỏi 4
Cho một vòng tròn cố định tâm $O$ bán kính $R$ với hai đường kính vuông góc cố định $AB,CD$ và tiếp tuyến $At$ tại điểm $A$. Một điểm $M$ chạy trên đường tròn đó, các đường thẳng $BM,DM$ cắt $At$ theo thứ tự ở $P$ và $Q$.
(a) Khi điểm $M$ chạy trên đường tròn thì $P,Q$ luôn có mối liên hệ sau đây: khoảng cách giữa hai điểm $P$ và $Q$ là tỉ lệ thứ tư của ba đoạn thẳng $AP,AQ$ và đường kính. Sau đó tìm cách biểu diễn mối liên hệ này bằng một công thức đơn giản nhất.
(b) Dùng thước và compa dựng điểm $M$ sao cho $BQ$ và $DP$ song song với nhau.
(c) Hai đường thẳng $OP$ và $BQ$ cắt nhau ở $N$. Dự đoán quỹ tích của $N$ rồi chứng minh nó.
(d) $BP$ và $BQ$ cắt tiếp tuyến ở điểm $D$ theo thứ tự ở $P'$ và $Q'$. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $P'$ và $Q'$? Chứng minh nhận xét đó. $DP$ và $DQ$ cắt đường thẳng $BC$ ở $P''$ và $Q''$. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $P''$ và $Q''$? Chứng minh nhận xét đó.
Chú thích biên tập: xét các cấu hình mà các đường thẳng đã nêu và giao điểm hữu hạn được xác định. Giữ nguyên câu chữ nguồn ở (a), kể cả thứ tự ba độ dài, để phân tích trong lời giải.
(a) Khi điểm $M$ chạy trên đường tròn thì $P,Q$ luôn có mối liên hệ sau đây: khoảng cách giữa hai điểm $P$ và $Q$ là tỉ lệ thứ tư của ba đoạn thẳng $AP,AQ$ và đường kính. Sau đó tìm cách biểu diễn mối liên hệ này bằng một công thức đơn giản nhất.
(b) Dùng thước và compa dựng điểm $M$ sao cho $BQ$ và $DP$ song song với nhau.
(c) Hai đường thẳng $OP$ và $BQ$ cắt nhau ở $N$. Dự đoán quỹ tích của $N$ rồi chứng minh nó.
(d) $BP$ và $BQ$ cắt tiếp tuyến ở điểm $D$ theo thứ tự ở $P'$ và $Q'$. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $P'$ và $Q'$? Chứng minh nhận xét đó. $DP$ và $DQ$ cắt đường thẳng $BC$ ở $P''$ và $Q''$. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $P''$ và $Q''$? Chứng minh nhận xét đó.
Chú thích biên tập: xét các cấu hình mà các đường thẳng đã nêu và giao điểm hữu hạn được xác định. Giữ nguyên câu chữ nguồn ở (a), kể cả thứ tự ba độ dài, để phân tích trong lời giải.