Người ta tính rằng nếu không kể sức cản của không khí thì mỗi viên đạn bắn ra từ nòng của một khẩu súng vạch ra trong không gian một đường parabol nằm trong mặt phẳng đứng qua trục của nòng súng. Nếu lấy vị trí của khẩu súng trên mặt đất làm gốc $O$, lấy đường thẳng nằm ngang làm trục hoành $Ox$ và lấy đường thẳng đứng làm trục tung $Oy$ thì phương trình của đường parabol ấy là
$$y=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+x\tan\alpha,$$
trong đó $\alpha$ là góc của nòng súng với mặt đất, $g$ là gia tốc trọng trường, $v_0$ là vận tốc ban đầu của viên đạn.
(a) Với góc $\alpha$ như thế nào thì viên đạn đi xa nhất?
(b) Với những góc $\alpha$ nào thì viên đạn bắn trúng vào một điểm có tọa độ $X\ge0$, $Y\ge0$? Những điểm bắn tới được trong phạm vi không gian nào?
Trong một mặt phẳng $(P)$ người ta cho hai đường thẳng cố định $a$ và $b$ và hai đường thẳng biến thiên $x$ và $y$; trong khi biến thiên $x$ và $y$ luôn luôn song song với nhau và theo thứ tự đi qua hai điểm $A$ và $B$ nằm trên đường thẳng $A$; $x$ cắt $b$ ở điểm $C$; $y$ cắt $b$ ở $D$. Qua giao điểm $M$ của $AB$ và $CD$ người ta dựng đường thẳng song song với $x$, nó cắt $a$ ở $L$ và $b$ ở $N$.
(a) Có nhận xét gì về ba điểm $L,M,N$? Chứng minh nhận xét đó. Hãy xác định quỹ tích của điểm $M$!
(b) Cho một mặt phẳng thứ hai $P'$ không song song với $P$ và một điểm $O$ nằm ngoài $P$ và $P'$. Các mặt phẳng $Oa,Ob,Ox,Oy$ có thể hoặc cắt $P'$ hoặc song song với $P'$, trong trường hợp chúng cắt $P'$ thì các giao điểm với $P'$ sẽ theo thứ tự gọi là $a',b',x',y'$. Như vậy trong mặt phẳng $P'$ sẽ có một bài toán quỹ tích đối với giao điểm $M'$ của đường thẳng $M$ với mặt phẳng $P'$. Hãy phát biểu bài toán quỹ tích đó?
(c) Tìm xem $x$ và $y$ phải ở vị trí nào thì $x'$ và $y'$ song song với nhau, ở vị trí nào thì $A'D'$ và $B'C'$ song song với nhau?
Ghi chú chép đề: Giữ đúng ba cách viết trong nguồn: “đường thẳng A”, “AB và CD”, “đường thẳng M”. Lời giải nêu lỗi theo nghĩa đen rồi xét riêng một cách sửa đề đề xuất; không ngầm coi bản sửa là đề chính thức.
Cho ba số $x,y,z$ không âm thỏa mãn các đẳng thức dưới đây
$$x+by\le36,\qquad 2x+3z\le72,$$
trong đó $b$ là một số dương cho trước. Chứng minh rằng tổng $x+y+z$ lớn nhất bằng $\max\{36,\ 24+36/b\}$.
Ứng dụng. Người ta vận chuyển hàng điểm $A$ đến điểm $M$ thì có ba cách vận chuyển như sau:
(a) Chuyển bằng xe hơi theo đường $ACM$.
(b) Chuyển bằng đường thuyền theo đường $ADM$.
(c) Chuyển bằng xe hơi từ $A$ đến $B$ rồi chuyển tiếp bằng thuyền từ $B$ đến $M$.
Tổng số xe hơi có thể dùng để vận chuyển là 9 chiếc, tổng số thuyền là 45 chiếc. Mỗi chiếc xe hơi nếu chạy trên đường $AB$ thì đảm bảo trung bình mỗi ngày chuyển được bốn tấn hàng từ $A$ đến $B$ và nếu chạy trên đường $ACM$ thì mỗi ngày 2 tấn hàng từ $A$ đến $M$. Mỗi chiếc thuyền nếu đi đường $BM$ thì đảm bảo mỗi ngày chuyển được $8/15$ tấn hàng từ $A$ đến $M$. Hỏi rằng nếu tổ chức vận chuyển như thế nào (bao nhiêu tấn/ngày theo cách 1, theo cách 2, và bao nhiêu tấn/ngày theo cách 3) để cho tổng số tấn vận chuyển được là nhiều nhất? Nếu mỗi chiếc xe hơi chạy trên đường $ACM$ đảm bảo không tới $4/3$ mỗi ngày thì nên tổ chức vận chuyển như thế nào?
Ghi chú: Giữ chữ “đẳng thức” dù các dấu in là bất đẳng thức. Câu cuối nguồn in “không tới 4/3 mỗi ngày”, không ghi lại đơn vị tấn; bản tiếng Anh diễn giải ngưỡng này, và lời giải phân biệt bằng đúng với thấp hơn ngưỡng. Nguồn không cho riêng năng suất thuyền trên $ADM$, đồng thời câu về thuyền có điểm đầu cuối không nhất quán. Không tự điền dữ kiện thiếu.
