PIMSO 2021 - Toán - Lớp 10 - Vòng Quốc gia

Số dư khi chia $\frac{81^{675}}{9^{45}}$ cho 28 bằng bao nhiêu?

Số mũ lớn nhất của 200 trong 90! là n. Số mũ lớn nhất của 9 trong 30! là m. Tính $\frac mn$.

“Số mũ lớn nhất” được hiểu theo phép chia hết.

Hai chữ số cuối của $8^{581}\times71^{99}$ là gì?

Có bao nhiêu số từ 1 đến 1500 nguyên tố cùng nhau với đúng một trong hai số 8 và 15?

Có n cặp có thứ tự (a,b) thỏa mãn ab=27404. Nếu a,b là số nguyên thì n bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu ước của $3.24\times10^5$ là số chính phương?

Nếu $R_n=\sum_{k=1}^n\frac{2k+1}{k^4+2k^3+k^2}$, hãy tính $R_{10}$.

Nếu $x=\sqrt{14+6\sqrt5}$, hãy tính $\frac{x^4-2x^3+3x^2+9x+10}{x^2-7x+12}$.

Cách nhập: dùng sqrt(...) cho căn bậc hai, * cho phép nhân và ^ cho lũy thừa.

Rút gọn $(x^{2048}+1)(x^{1024}+1)(x^{512}+1)\ldots(x^4+1)(x^2+1)(x+1)$ rồi tính giá trị tại x=2. Viết đáp án dưới dạng lũy thừa.

Cách nhập: dùng sqrt(...) cho căn bậc hai, * cho phép nhân và ^ cho lũy thừa.

Cho số thực x thỏa mãn $2x^2-x-2=0$. Tính $x^8+\frac1{x^8}$.

Hệ số bằng số của số hạng chính giữa trong khai triển $(2x+3y)^{10}$ bằng bao nhiêu?

Phương trình $(3-x)^3+(4-x)^3=(7-2x)^3$ có các nghiệm $x_1,x_2,x_3$. Tính $x_1+x_2+x_3$.

Đường chéo AB của hình lập phương dài $\sqrt{243}$ cm. Diện tích toàn phần bằng bao nhiêu?

Diện tích tam giác lớn nhất nằm trong hình chữ nhật SPRT bằng bao nhiêu, biết ST=10, SE=12, ER=13 và $TE=12\sqrt2$?

Ghi chú biên tập: dữ kiện và hình in cần chấm thủ công. Hãy giải thích chúng có xác định một hình hợp lệ hay không.

Góc TSA bằng $60^\circ$. Diện tích tứ giác SAOT bằng bao nhiêu nếu bán kính đường tròn là 2 cm?

Ghi chú biên tập: hãy xét dữ kiện in có xác định duy nhất diện tích hay không. Không tự giả sử đối xứng chưa được đánh dấu.

Bán kính đường tròn tâm A có phương trình $x^2+y^2+4x+6y-12=0$ bằng cạnh tam giác đều ABC. Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Cách nhập: dùng sqrt(...) cho căn bậc hai, * cho phép nhân và ^ cho lũy thừa.

Chu vi tam giác có các đỉnh A(1,2), B(3,-4), C(-2,-3) có dạng $x\sqrt{2y}+\sqrt{2z}+\sqrt{2s}$. Nếu y<s<z, tính x+y+z-s.

Dùng dạng căn thức tối giản thông thường, hệ số nguyên dương và số dưới căn không chứa thừa số chính phương lớn hơn 1.

Đường chéo AB của hình hộp dài $\sqrt{299}$ cm. Thể tích hộp tính bằng lít là bao nhiêu nếu chiều dài và chiều rộng lần lượt là 13 và 7?

Các kích thước hộp tính bằng cm như đơn vị của đường chéo.

Trong một hệ mật mã, ‘PIMSO’ được viết thành ‘OHLRN’. ‘ROBERT’ được viết thế nào?

Một khu nghỉ dưỡng ở Boracay có các phòng chứa tối đa hai người. Các cặp đôi có thể ở chung phòng. Khách nam chỉ được ở chung với nam, khách nữ chỉ được ở chung với nữ. Cần bao nhiêu phòng để bảo đảm bố trí được bất kỳ nhóm 200 khách nào?