Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Một đường tròn đi qua $A,B$, chứa tam giác $ABC$ bên trong, cắt đường thẳng $DE$ tại $P,Q$. Chứng minh trung điểm của $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQF$.
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n,p$ là các số thực, với $p>-1$. Chứng minh $$\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)\left(a_i(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{p/2}-b_i(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)^{p/2}\right)\ge0.$$
Cho số nguyên $n\ge3$. Chứng minh tồn tại các số nguyên dương $x_1,\ldots,x_n$ lập thành cấp số nhân và các số nguyên dương $y_1,\ldots,y_n$ lập thành cấp số cộng sao cho $x_1\lt y_1\lt x_2\lt y_2\lt\cdots\lt x_n\lt y_n$.
Cho $A,B$ là hai bảng vuông $n\times n$. Các ô của $A$ được ghi các số từ $1$ đến $n^2$ từ trái sang phải, bắt đầu từ hàng trên cùng; các ô của $B$ được ghi các số từ $1$ đến $n^2$ dọc theo các đường chéo đi lên theo hướng đông-bắc, bắt đầu ở góc trên bên trái. Chồng bảng $B$ lên bảng $A$. Nếu hai ô chồng lên nhau có cùng số, chúng được tô đỏ. Xác định những $n$ sao cho có ít nhất một ô đỏ khác các ô ở góc trên trái, góc dưới phải và ô chính giữa (khi $n$ lẻ). Dưới đây là hai bảng khi $n = 4$.
