SMO 2016 - Senior - Vòng 2

Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$, còn $D$ là điểm trên $BC$ sao cho $AD$ chia đôi $\angle BAC$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AD$ cắt $AD$ tại $E$ và cắt $AM$ tại $G$. Chứng minh $GD$ song song với $AB$.

Cho $n$ là số nguyên dương. Xác định số đường thẳng ít nhất có thể vẽ trong mặt phẳng để chúng cắt nhau tại đúng $n$ điểm phân biệt.

Với mọi số nguyên $n\ge1$, chứng minh rằng $$\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{\sqrt{k+0.5}}\le2^{n+1}\sqrt{n+1}-\frac{4n^{3/2}}3.$$

Cho $P$ là đa giác có 2016 cạnh, hai cạnh kề nhau luôn vuông góc, tức là mỗi góc trong bằng $90^\circ$ hoặc $270^\circ$. Nếu độ dài các cạnh đều là số nguyên lẻ, chứng minh diện tích của nó là số nguyên chẵn.

Với mỗi số nguyên $n>1$, tìm tập gồm $n$ số nguyên $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ sao cho các số $\{a_i+a_j\mid1\le i\le j\le n\}$ có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $n(n+1)/2$. Nếu không tồn tại tập như vậy, hãy chứng minh.