SMO 2016 - Open - Vòng 2

Cho $D$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $AB=ab$, $AC=ac$, $AD=ad$, $BC=bc$, $BD=bd$ và $CD=cd$. Chứng minh $\angle ABD+\angle ACD=60^\circ$.

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $0<a,b,c<1/2$ và $a+b+c=1$. Chứng minh với mọi số thực $x,y,z$, $$abc(x+y+z)^2\ge ayz(1-2a)+bxz(1-2b)+cxy(1-2c).$$ Khi nào xảy ra dấu bằng?

Cho $n$ là số nguyên tố. Chứng minh tồn tại một hoán vị $a_1,a_2,\ldots,a_n$ của $1,2,\ldots,n$ sao cho $a_1$, $a_1a_2$, $\ldots$, $a_1a_2\cdots a_n$ có các số dư khác nhau khi chia cho $n$.

Cho số $b$ thỏa $-2<b<0$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho mọi hệ số của đa thức $(x+1)^n(x^2+bx+1)$ đều dương.

Tổng cộng $731$ vật được cho vào $n$ túi không rỗng, với $n$ là số nguyên dương. Có thể phân các túi vào $17$ hộp đỏ, và cũng có thể phân chúng vào $43$ hộp xanh, sao cho mỗi hộp đỏ chứa $43$ vật và mỗi hộp xanh chứa $17$ vật. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$.