SMO 2011 - Junior - Vòng 2

Cho $a,b,c,d>0$ và $x=\sqrt{a^2+b^2}$, $y=\sqrt{c^2+d^2}$. Chứng minh rằng $$xy\ge ac+bd.$$

Hai đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2$ có bán kính lần lượt là $r_1,r_2$ và tiếp xúc trong tại điểm $P$. Một tiếp tuyến song song với đường kính đi qua $P$ tiếp xúc với $\Gamma_1$ tại $R$ và cắt $\Gamma_2$ tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $PR$ là tia phân giác của $\angle MPN$.

Cho $S_1,S_2,\ldots,S_{2011}$ là các tập không rỗng gồm những số nguyên liên tiếp, sao cho bất kỳ $2$ tập nào cũng có một phần tử chung. Chứng minh rằng có một số nguyên thuộc mọi $S_i$, với $i=1,\ldots,2011$. (Ví dụ, $\{2,3,4,5\}$ là một tập gồm các số nguyên liên tiếp, còn $\{2,3,5\}$ thì không.)

Mọi số nguyên dương $n$ đều có thể viết dưới dạng $n=2^aq$, trong đó $a\ge0$ và $q$ lẻ. Ta gọi $q$ là phần lẻ của $n$. Dãy $a_0,a_1,\ldots$ được xác định như sau: $a_0=2^{2011}-1$ và với $m\ge0$, $a_{m+1}$ là phần lẻ của $3a_m+1$. Tìm $a_{2011}$.

Ban đầu trên bảng có số $10$. Trong mỗi lượt tiếp theo, bạn có thể thực hiện một trong các thao tác: (i) xóa một số $1$ và thay bằng một số $10$; hoặc (ii) xóa một số $10$ và thay bằng một số $1$ cùng một số $25$; hoặc (iii) xóa một số $25$ và thay bằng hai số $10$. Sau một thời gian, bạn thấy trên bảng có đúng một trăm số $1$. Tổng nhỏ nhất có thể của tất cả các số trên bảng tại thời điểm đó là bao nhiêu?