SMO 2008 - Junior - Vòng 2

Trong tam giác $ABC$, $\angle ACB=90^\circ$. Gọi $D$ là chân đường cao kẻ từ $C$ xuống $AB$, và $E$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $CE=BD/2$. Chứng minh rằng $AD+CE=AE$.

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $cd=1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n$ sao cho $ab\le n^2\le(a+c)(b+d)$.

Trong tứ giác $PQRS$, các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $PQ$, $QR$, $RS$, $SP$, và $M$ là trung điểm của $CD$. Giả sử $H$ là điểm trên đường thẳng $AM$ sao cho $HC=BC$. Chứng minh rằng $\angle BHM=90^\circ$.

Cho sáu số nguyên dương đôi một khác nhau $a,b,c,d,e,f$. Jack và Jill tính tổng của từng cặp trong sáu số này. Jack nói rằng có $10$ số nguyên tố, còn Jill nói rằng có $9$ số nguyên tố trong các tổng. Ai có khẳng định đúng?

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $5^p+4p^4$ là số chính phương, tức là bình phương của một số nguyên.