SMO 2007 - Senior - Vòng 1

Câu hỏi 1

Tìm tổng các chữ số của tích $\left(1+\dfrac12\right)\left(1+\dfrac13\right)\left(1+\dfrac14\right)\cdots\left(1+\dfrac1{2006}\right)\left(1+\dfrac1{2007}\right)$.

$5$
$6$
$9$
$10$
$13$

Một túi có $x$ viên kẹo xanh và $y$ viên kẹo đỏ. Chọn ngẫu nhiên một viên và ghi nhận màu. Sau đó bỏ viên ấy lại vào túi cùng 10 viên kẹo thêm có cùng màu. Tiếp theo rút ngẫu nhiên viên thứ hai. Tìm xác suất viên thứ hai màu đỏ.

$\dfrac{y+10}{x+y+10}$
$\dfrac y{x+y+10}$
$\dfrac y{x+y}$
$\dfrac x{x+y}$
$\dfrac{x+y}{x+y+10}$

Câu hỏi 3

Số dư khi chia số
$$\left(\underbrace{999999\ldots999}_{2008}\right)^{2007}-\left(\underbrace{333333\ldots333}_{2008}\right)^{2007}$$
cho $11$ là bao nhiêu? Hai cơ số lần lượt gồm $2008$ chữ số $9$ và $2008$ chữ số $3$.

$0$
$2$
$4$
$6$
Không có đáp án nào ở trên

Câu hỏi 4

$W,X,Y,Z$ là trung điểm bốn cạnh của hình bình hành $ABCD$. $P$ nằm trên đoạn $YZ$. Diện tích tam giác $PXW$ bằng bao nhiêu phần trăm diện tích hình bình hành $ABCD$?

Hình minh họa câu hỏi

$50\%$
$45\%$
$30\%$
$25\%$
$20\%$

Câu hỏi 5

Bốn thanh được nối bằng các khớp linh hoạt ở hai đầu để tạo thành tứ giác như hình. Biết $PQ=40$ cm, $RS=20$ cm, $PS=60$ cm và $\angle QPS=\angle RSP=60^\circ$. Tìm $\angle QRS$.

Hình minh họa câu hỏi

$100^\circ$
$105^\circ$
$120^\circ$
$135^\circ$
$150^\circ$

Câu hỏi 6

Khi đóng 2007 bánh xà phòng vào $N$ hộp, với $N$ là số nguyên dương, còn dư 5 bánh. Có bao nhiêu giá trị có thể của $N$?

$14$
$16$
$18$
$20$
$13$

Câu hỏi 7

Giả sử $a_n$ là số tạo bởi hai chữ số cuối của $7^n$. Ví dụ $a_2=49$, $a_3=43$. Tính $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2007}$.

$50189$
$50199$
$50209$
$50219$
$50229$

Câu hỏi 8

Hình dưới cho tứ giác $ABCD$ với $AB=10$, $BC=6$, $CD=8$, $DA=2$. Hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$ và $\angle COB=45^\circ$. Tìm diện tích tứ giác $ABCD$.

Hình minh họa câu hỏi

$28$
$29$
$30$
$31$
$32$

Câu hỏi 9

Trong hình sau, $ABCD$ là hình vuông với $PA=a$, $PB=2a$, $PC=3a$. Tìm $\angle APB$.

Hình minh họa câu hỏi

$120^\circ$
$130^\circ$
$135^\circ$
$140^\circ$
$145^\circ$

Câu hỏi 10

Giá trị nguyên tố lớn nhất có thể của $n^2-12n+27$ là bao nhiêu, khi $n$ chạy qua mọi số nguyên dương?

$91$
$37$
$23$
$17$
$7$

Câu hỏi 11

Giả sử $\log_2[\log_3(\log_4 a)]=\log_3[\log_4(\log_2 b)]=\log_4[\log_2(\log_3 c)]=0$. Tìm $a+b+c$.

Câu hỏi 12

Tìm chữ số hàng đơn vị của $17^{17}\times19^{19}\times23^{23}$.

Câu hỏi 13

Biết $x+y=12$, $xy=50$, tìm giá trị chính xác của $x^2+y^2$.

Câu hỏi 14

Giả sử $(21.4)^a=(0.00214)^b=100$. Tính $\dfrac1a-\dfrac1b$.

Câu hỏi 15

Tính $100(\sin253^\circ\sin313^\circ+\sin163^\circ\sin223^\circ)$.

Câu hỏi 16

Sắp xếp lại các chữ cái của từ MATHEMATICS sao cho bốn chữ đầu đều là nguyên âm. Tìm tổng số cách sắp xếp phân biệt có thể tạo ra như vậy.

(Lưu ý: Các nguyên âm trong tiếng Anh là A, E, I, O, U.)

Câu hỏi 17

Cho tập $S=\{1,2,3,\ldots,199,200\}$. Tập con $A=\{a,b,c\}$ của $S$ được gọi là “đẹp” nếu $a+c=2b$. Tập $S$ có bao nhiêu tập con “đẹp”?

(Lưu ý: Thứ tự các phần tử trong tập không quan trọng. Chẳng hạn, $\{a,b,c\}$, $\{a,c,b\}$ và $\{c,b,a\}$ được xem là cùng một tập.)