SMO 2007 - Junior - Vòng 2

Trong hình sau, $AB\parallel DC$, $AB=b$, $CD=a$ và $a\lt b$. Gọi $S$ là diện tích hình thang $ABCD$. Biết diện tích tam giác $BOC$ bằng $2S/9$. Tìm giá trị $a/b$.

Dựng các tam giác đều $ABE$ và $BCF$ ra phía ngoài trên các cạnh $AB$ và $BC$ của hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng tam giác $DEF$ đều.

Cho $n$ là số nguyên dương và $d$ là ước chung lớn nhất của $n^2+1$ và $(n+1)^2+1$. Tìm tất cả giá trị có thể của $d$ và giải thích.

Hiệu giữa tích và tổng của hai số nguyên khác nhau bằng tổng ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) của chúng. Tìm tất cả các cặp số đó và giải thích.

Với mọi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số nguyên dương không chính phương thứ $n$, tức $f(1)=2$, $f(2)=3$, $f(3)=5$, $f(4)=6$, v.v. Chứng minh rằng

$$f(n)=n+\{\sqrt n\},$$

trong đó $\{x\}$ là số nguyên gần $x$ nhất. (Ví dụ, $\{\sqrt1\}=1$, $\{\sqrt2\}=1$, $\{\sqrt3\}=2$, $\{\sqrt4\}=2$.)